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Questão 78789

FUVEST

(FUVEST - 2023)

Considere $a,b,c epsilon mathbb{R}$ e a função $f: mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ dada por $f(x)= ax^{2}+bx+c$ .

a) Determine os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para que 𝑓(1) = 1, 𝑓(0) = 0 e 𝑓(-1) = 1.

b) Para 𝑎 = -1 e 𝑏 = 4, determine o valor de 𝑐 de modo que a área do triângulo 𝐴𝐵𝑉 da figura seja igual a 32 u.a., onde 𝑉 é o vértice da parábola representada por 𝑓.

c) Considere $g: mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ a função dada por $g(t)= cos t$ . Se 𝑎 = 3 e 𝑐 = -8, determine para quais valores de 𝑏 a equação $f(g(t)) = 0$ possui ao menos uma solução real.

Gabarito:

Resolução:

a) Os valores determinar 𝑎, 𝑏 e 𝑐 vamos aplicar a função o valores 0, 1 e $-1$ :

Para $x=0$

$f(0)=acdot 0^2+bcdot 0+c=0$

$c=0$

Para $x=1$

$f(1)=acdot 1^2+bcdot 1+c=1$

$a+b+c=1$

Para $x=-1$

$f(-1)=acdot (-1)^2+bcdot (-1)+c=1$

$a-b+c=1$

Fazendo um sistema com as três equações:

$left{egin{matrix} a & + & b & + &c &= &1\ a & - & b & + & c &=& 1\ & & & & c&=&0 end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} a & + & b & = &1&(I)\ a & - & b & =& 1 &(II)end{matrix} ight.$

$2a=2$

$a=1$

Substituindo o valor de $a$ em $(II)$ :

$1-b=1Rightarrow b=0$

Portanto $a=1$ , $b=c=0$ .

b) Note os vertices do triângulo terão coordenadas $V(x_v,y_v)$ , $A(x_v,0)$ e $B(r,0)$ .

Para 𝑎 = -1 e 𝑏 = 4 temos:

$f(x)=-x^2+4x+c$

Com isso, as raizes da função serão:

$-x^2+4x+c=0$

$frac{-4pm sqrt{16+4c}}{-2}=-2pm sqrt{16+4c}=-2pm sqrt{4+c}$

Quanto ao vertice temos:

$x_v=frac{-4}{-2}=2$

Substituindo o $x_v$ na função podemos achar $y_v$ :

$f(2)=-(2)^2+4cdot 2 +c=-4+8+c=4+c$

Com isso temos que $V(2,4+c)$ , $A(2,0)$ e $B(-2pm sqrt{4+c},0)$

Com isso área será

$A_{VAB}=frac{left ( sqrt{4+c} ight )cdot left ( 4+c ight )}{2}=32$

$left ( sqrt{4+c} ight )cdot (4+c)=64$

$left ( sqrt{4+c} ight )cdot left (sqrt{4+c} ight )^2=64$

$left ( sqrt{4+c} ight )^3=64$

$sqrt{4+c}=4$

$4+c=16$

$c=12$

c) Primerio vamos montar a nova função $f(x)$ :

$f(x)=3x^3+bx-8$

Como $f(g(t))$ é uma função composta temos que aplicar $g(t)$ em $f$ :

$f(g(t))=3cdot cos(t)+bcdot cos(t)-8$

Analisando a função na variavel $cos(t)$ temos que:

$Delta = b^2-4cdot 3cdot (-8)$

$Delta = b^2+96$

Como temos uma soma entre valores positivos o resultado também será positivo, com isso podemos concluir que $f(g(t))$ possui raiz real, porém a função cosseno tem sua imagem restrita ao intervalo $-1leq cos(t)leq 1$ . Além disso, precisamos considerar que o se o produto entre duas imagens for negativo então exite pelo menos uma raiz no intervalo entre elas. Ou seja, precisamos que $f(-1)cdot f(1)leq 0$ para que exista $f(g(t))$ tenha pelo menos uma raiz real:

$f(-1)cdot f(1)leq 0$

$left [3cdot (-1) ^2-1cdot b-8 ight ]cdot left [ 3cdot 1+b-8 ight ]leq 0$

$left [-b-5 ight ]cdot left [ b-5 ight ]leq 0$

Logo $bleq - 5$ ou $bgeq 5$

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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