Questão 17811
FUVEST
(Fuvest - 2012) Considere todos os pares ordenados de números naturais (a,b), em que . Cada um desses pares ordenados está escrito em um cartão diferente. Sorteando-se um desses cartões ao acaso, qual é a probabilidade de que se obtenha um par ordenado (a,b) de tal forma que a fração a/b seja irredutível e com denominador par?
Gabarito:
5/27
Resolução:
Para resolver esse problema, devemos inicialmente fazer a contagem de quantos pares existem no intervalo e a quantos desses cada termo de
pode ser associado e continuar irredutivel, note que isso implica em
ser impar, pois podemos dividir todo numero par por
Os pares no intervalo são
, agora vemos se alguns dos termos impares de
possui fator primo em com os valores de
, temos que
, logo
está associado a
números
, como
é primo e nenhum dos valores possiveis de
são multiplos de
, todas as
possibilidades são válidas
, isso implica que
não pode ser multiplo de
ou
são os unicos casos favoráveis.
, como
é primo e nenhum dos valores possiveis de
são multiplos de
, todas as
possibilidades são válidas
, como
é primo e nenhum dos valores possiveis de
são multiplos de
, todas as
possibilidades são válidas
, isso implica que
não pode ser multiplo de
ou
são os unicos casos favoráveis.
Agora podemos contar o numero de casos que cumprem as condições do enunciado e do total de casos para calcular a probabilidade.
O numero total de casos é dado pelo produto entre o numero de valores possiveis para e para
, ou seja:
Com isso temos que:
Portanto, a alternativa correta é a LETRA E.