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Questão 54920

INSPER

(INSPER - 2014)

As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como "Octógonos". Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um "Octógono" decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles.

A medida de lado do quadro destacado no centro da figura é igual à medida do lado do "Octógono". Se a área desse quadrado é S, antão a área do "Octógono" vale

$S(2sqrt2 + 1)$

$S(sqrt2 +2)$

$2S(sqrt2 + 1)$

$2S(sqrt2 + 2)$

$4S(sqrt2 +1)$

Gabarito:

$2S(sqrt2 + 1)$

Resolução:

Ora, se a área desse quadrado no meio do octógono é S, então quanto vale a em função de S? Veja que o lado desse quadrado é exatamente igual ao lado do octógono, a. Pense que, como falado na questão dos 4 retângulos que existem nessa figura, lados paralelos do retângulo são de comprimentos iguais. Logo, o lado dos retângulos paralelos aos lados do octógono também devem medir a e esses lados paralelos formam justamente o quadrado de área S.

Daí,

$S = a^2Rightarrow a=sqrt{S}$

Agora vamos calcular a área total do octógono em função de a mesmo e só no final vamos substituir o valor de a pelo que foi exposto acima.

São 4 retângulos como foi dito no enunciado, 4 triângulos isósceles e um quadrado S. Os retângulos possuem como um dos lados o lado do octógono a, para descobrirmos a área de cada retângulo nos falta descobrir o valor do outro lado do retângulo que vamos chamar de b (veja que b acaba sendo o comprimento de dois dos lados dos triângulos isósceles - b é o lado menor de cada retângulo na figura acima). Dessa forma, a área dos retângulos é $acdot b$ .

Mas agora observe cada triângulo isósceles da figura. Concorda que são triângulos retângulos também? Veja que esses triângulos são opostos pelo vértice com os vértices do quadrado de área S e por serem opostos pelo vértice, então possuem os ângulos opostos pelo vértices ângulos iguais entre si. Logo, um dos ângulos de cada triângulo isósceles é 90º e este é o ângulo que "olha diretamente" para o lado do octógono. Então, vamos aplicar Pitágoras nesse triângulo:

$b^2+b^2=a^2Rightarrow 2b^2=a^2Rightarrow b=acdotfrac{sqrt{2}}{2}$

Dessa forma, a área de cada retângulo é:

$bcdot a=acdotfrac{sqrt{2}}{2}cdot a=a^2cdotfrac{sqrt{2}}{2}$

Lembrando que a área de um triângulo é base vezes altura sobre dois e que para triângulos retângulos basta multiplicar os dois catetos e dividir por dois para obter a área, temos que a área de cada triângulo isósceles é:

$frac{bcdot b}{2}=frac{b^2}{2}=frac{frac{a^2}{2}}{2}=frac{a^2}{4}$

Logo, como são 4 triângulos e 4 retângulos, a área total do octógono é igual a soma da área de quadrado de área S, mais a soma das áreas dos 4 retângulos mais a soma das áreas dos 4 triângulos:

$S_{octacute{o}gono}=S+4cdot a^2cdotfrac{sqrt{2}}{2}+4cdotfrac{a^2}{4}=S+a^2cdotleft(2sqrt{2}+1 ight )$

Agora substituindo a por $sqrt{S}$ , temos que a área do octógono é:

$S_{octacute{o}gono}=S+left(sqrt{S} ight )^2cdotleft(2sqrt{2}+1 ight )=S+Sleft(2sqrt{2}+1 ight )=Sleft(2sqrt{2}+1+1 ight )Rightarrow$

$Rightarrow S_{octacute{o}gono}=Sleft(2sqrt{2}+1+1 ight )=Sleft(2sqrt{2}+2 ight )=2Sleft(sqrt{2}+1 ight )$

A Letra C é a correta.

Questão 2578

INSPER

(Insper/2010) Considere a tirinha abaixo. Da leitura da tira, pode-se depreender que:

Português, Literatura e Redação: Análise tirinha Mafalda ...

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Questão 2579

INSPER

(Insper/2010) Assinale a alternativa correta.

Mafalda cultura ou vestido (com imagens) | Tirinhas, Tirinhas em ...

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Questão 2929

INSPER

(Insper-2012)

A última romântica

Cigarros, isqueiros, copos com drinques coloridos, garrafas vazias - de vodca, do licor de coco Malibu... Às flores, velas, retratos e mensagens de praxe os fãs acrescentaram em frente à casa de Amy Winehouse esses objetos que dão prazer, podem viciar e fazem mal à saúde. Para além da homenagem, era uma forma de participar do universo de excessos da cantora.

É curioso o apelo de Amy num mundo conservador, cada vez mais antitabagista e alerta para os riscos das drogas - um mundo onde vamos sendo ensinados a comprar produtos sem gordura trans e onde até as garotas de esquerda consomem horas dentro da academia. Numa época em que as pessoas são estimuladas a abdicar de certos prazeres na expectativa de durar bastante, simplesmente para durar, Winehouse fez o roteiro oposto - intenso, autodestrutivo, suicida. Sob o aspecto clínico, era uma viciada grave, necessitando desesperadamente da ajuda que insistia em recusar. Uma de suas canções mais famosas trata exatamente disso. Amy foi presa fácil do jornalismo de celebridades, voltado à escandalização da intimidade dos famosos (quanto pior, melhor). Foi também, num tempo improvável, a herdeira de Janis Joplin, morta aos 27 em 1970, e de Billie Holiday, morta aos 44, em 1959, ambas por overdose. Como suas antecessoras, Amy leva ao extremo o éthos romântico - do artista que vive em conflito permanente e se rebela contra o curso prosaico e besta do mundo. Na sua figura atormentada e em constante desajuste, o autoflagelo quase sempre se confunde com o ódio às coisas que funcionam. Numa cultura inteiramente colonizada pelo dinheiro e que convida à idolatria, fazer sucesso parecia uma espécie de vexame e de vileza, o supremo fiasco existencial, contra o qual era preciso se resguardar. Nisso Amy evoca os gênios do romantismo tardio - Lautréamont, Rimbaud e outros poetas do inferno humano, que tinham plena consciência da vergonha de dar certo.

SILVA, Fernando de Barros e. Folha de São Paulo, 26/07/2011

Considere esta definição:

Pressupostos são conteúdos implícitos que decorrem de uma palavra ou expressão presente no ato de fala produzido. O pressuposto é indiscutível tanto para o falante quanto para o ouvinte, pois decorre, necessariamente, de um marcador linguístico, diferentemente de outros implícitos (os subentendidos), que dependem do contexto, da situação de comunicação.

Adaptado de FIORIN, J. L. O dito pelo não dito. In: Língua Portuguesa, ano I, n. 6, 2006. p. 3637.

A passagem do texto "A última romântica" em que a palavra sublinhada instaura um pressuposto é

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Questão 6037

INSPER

(INSPER - 2016) No plano cartesiano ortogonal de origem O (0,0) estão representadas:

- uma circunferência , λ tangente à reta r em T e ao eixo das ordenadas;
- o triângulo retângulo OAT, com A (6,0) e um ângulo externo de medida 120º.

Sabe-se, ainda, que r passa pela origem do plano.

Nas condições dadas, o raio de λ tem medida igual a

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