Questão 7292
MACKENZIE
(Mackenzie 2014) Na figura abaixo, a área, em cm2 do triângulo ORV é:
50/3
25/3
10/3
2/3
1/3
Gabarito:
50/3
Resolução:
Segue solução:
Uma possível maneira de resolver a questão é determinando as coordenadas dos vértices do triângulo ORV e aplicando a fórmula de área que é 1/2 de da matriz das coordendas do triângulo.
Para tanto, começaremos determinando as equações das retas que formam o triângulo OPR.
Para a reta crescente temos dois pares ordenados, (0,0) e (1,3),sendo assim:
y = ax + b
0 = a0 + b
b = 0, agora vamos determinar a
3 = 1a + 0
a = 3.
Para determinar a equação da reta decrescente podemos utilizar um artifício que a figura nos dá: a perpendicularidade entre as duas retas. Isso significa que o coeficiente angular delas é inverso e oposto. Logo, considerando a segunda reta como y = cx + d, sabemos que c = -(a^-1), logo c = -1/3. Agora podemos utilizar o ponto em comum (1,3) para determinar a equação da reta decrescente:
y = -1/3x + d
3 = -1/3*1 + d
d = 3+1/3
d = 9/3 + 1/3
d = 10/3
Agora podemos facilmente descobrir os outros dois vértices do triângulo desejado.
y = -1/3x + 10/3
Vértice que corta o eixo y, x = 0, logo a coordenada será 10/3
vértice que corta o eixo x, y = 0, logo:
0 = -1x/3 + 10/3
x/3 = 10/3
x = 10
Temos então os seguintes pares ordenados para vértices do triângulo ORV
(0,0) (0,10/3) e (10,0)
1/2 do seu determinante será:
0 0 1
1/2* 0 10/3 1
10 0 1
= 1/2 *[ (0*10/3*1 + 0*1*10 + 1*0*0) - (1*10/3*10 + 1*0*0 + 1*0*0) =
= 1/2* -100/3 = -50/3. Como uma área deve ser positiva, consideramos o módulo do valor encontrado.
É facil perceber também que o cálculo pela fórmula base*altura/2 também fica simplificado.
10*10/3*2 = 50/3