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Questão 36367

FUVEST

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Considere as funções $f:left [ -frac{pi }{2}, frac{pi }{2} ight ] ightarrow left [ -1,1 ight ]$ e $g:left [0,pi ight ] ightarrow left [ -1,1 ight ]$ definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funções f-1 e g-1 tais que f-1 $circ$ f = f $circ$ f-1 = id e g-1 $circ$ g = g $circ$ g-1 = id, em que id é a função identidade.

a) Para $0 leq alpha leq 1$ , mostre que $left ( g circ f^{-1} ight )(alpha )=sqrt{1-alpha ^{2}}$ .

b) Mostre que $f^{-1}left ( frac{1}{2} ight )+g^{-1}left ( frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} ight )=frac{pi }{4}$ .

Gabarito:

Resolução:

$0leq alpha leq1 \ g(f^{-1})(alpha)= sqrt{1-alpha^2}$

Substituindo as funções f e g no que deve ser demonstrado:

$cos(arcsen : alpha)= sqrt{1-alpha^2}$

Considerando $arcsen : alpha=y$

Então aplicando sen em ambos os lados da equação:

$sen: y= alpha$

pela relação fundamental: $sen^2y+cos^2y=1$

substituindo

$alpha^2 + cos^2y=1 \ cos: y=pm sqrt{1- alpha^2}$

como estamos alfa deve estar entre 0 e 1, estamos no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo, logo:

$cos(arcsen: alpha)=cos(y)= sqrt{1- alpha ^2}: herefore$

_______________________________________________________________

$f^{-1}(frac{1}{2})+g^{-1}(frac{sqrt6+sqrt2}{4})=frac{ pi }{4}$

analisando a primeira parte, temos:

$arcsen(frac{1}{2}) = alphaRightarrow sen alpha= frac{1}{2}Rightarrow alpha= frac{ pi }{6}$

analisando a segunda parte, temos:

$arccos(frac{sqrt6+sqrt2}{4}) = etaRightarrow cos eta= frac{sqrt6+sqrt2}{4}$

Mas, como:

$alpha+eta= frac{ pi}{4}$

Substituindo alfa, e isolando beta, temos:

$eta= frac{ pi}{4}-frac{ pi}{6}$

Aplicando cosseno em ambos os lados:

$cos : eta=cos( frac{ pi}{4}-frac{ pi }{6})$

Usando a relação de soma / subtração de arcos:

$cos :eta= sen :frac{ pi}{4} cdot sen : frac{ pi}{6} +cos :frac{ pi}{4} cdot cos : frac{ pi}{6}$

Substituindo os valores de seno e cosseno conhecidos:

$cos :eta= frac{sqrt2}{2} cdot frac{1}{2}+frac{sqrt2}{2} cdot frac{sqrt3}{2}$

$cos :eta= frac{sqrt2+sqrt6}{4}$

Provando a relação que devemos encontrar na segunda parte.

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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