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Questão 36368

FUVEST

(FUVEST - 2018 - 2a fase)

Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P $otin$ C. Diz-se que “P enxerga C sob um ângulo $alpha$ " se $alpha$ for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C. Por exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ângulo $alpha$ indicado.

a) Se for um círculo de raio r, centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 60° .

b) Se for a união dos segmentos OA e OB , em que A = (a, 0) e B = (0,b), com a,b > 0, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 90°.

Gabarito:

Resolução:

Em construção:

Pelo desenho, podemos observar que:

Devido à simetria, o segmento OP é bissetriz do ângulo em P e pela propriedade de tangência, PN e PM formam ângulos retos com os raios da circunferência.

Logo, temos dois triângulos retângulos PNO e PMO e seus ângulos em P valem 30° cada um. Sendo assim, podemos usar a trigonometria:

$sen : 30^{circ}=frac{r}{OP}=frac{1}{2}$

logo: $OP=2r$

Notamos que, por simetria, qualquer ponto da circunferência verde tracejada enxergará o círculo sobre essas mesmas condições. Portanto, o lugar geométrico dos pontos será a circunferência de raio 2r centrada na origem. Sua equação é:

$x^2+y^2=(2r)^2Rightarrow x^2+y^2=4r^2 : ou: x^2+y^2-4r^2=0$

_______________________________________________________________________________________________

Os pontos que enxergam um segmento de reta sob o ângulo de 90° formam uma semi-circunferência. Dessa maneira, obtemos:

Vemos que o semicírculo c "enxerga" o segmento OB, o semicírculo d enxerga o segmento OA e o semicírculo e enxerga o segmento AB. Sendo assim, basta determinar as equações desses semicírculos:

semicírculo c (para x<0)

Centro: $(0,frac{b}{2})$

Raio: $frac{b}{2}$

Equação: $x^2+(y-frac{b}{2})^2=frac{b^2}{4}$

-----------------------------------------------

semicírculo d (para y<0)

Centro: $(0,frac{a}{2})$

Raio: $frac{a}{2}$

Equação: $(x-frac{a}{2})^2+y^2=frac{a^2}{4}$

------------------------------------------------

semicírculo e (para x e y >0)

Centro: $(frac{a}{2},frac{b}{2})$

Raio: $frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Equação: $(x-frac{a}{2})^2+(y-frac{b}{2})^2=frac{a^2+b^2}{4}$

Questão 1779

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

No contexto do cartum, a presença de numerosos animais de estimação permite que o juízo emitido pela personagem seja considerado

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Questão 1780

FUVEST

(FUVEST - 2016 - 1ª FASE)

Para obter o efeito de humor presente no cartum, o autor se vale, entre outros, do seguinte recurso:

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Questão 1794

FUVEST

(Fuvest 2016)

Omolu espalhara a bexiga na cidade. Era uma vingança contra a cidade dos ricos. Mas os ricos tinham a vacina, que sabia Omolu de vacinas? Era um pobre deus das florestas d’África. Um deus dos negros pobres. Que podia saber de vacinas? Então a bexiga desceu e assolou o povo de Omolu. Tudo que Omolu pôde fazer foi transformar a bexiga de negra em alastrim, bexiga branca e tola. Assim mesmo morrera negro, morrera pobre. Mas Omolu dizia que não fora o alastrim que matara. Fora o¹lazareto. Omolu só queria com o alastrim marcar seus filhinhos negros. O lazareto é que os matava. Mas as macumbas pediam que ele levasse a bexiga da cidade, levasse para os ricos latifundiários do sertão. Eles tinham dinheiro, léguas e léguas de terra, mas não sabiam tampouco da vacina. O Omolu diz que vai pro sertão. E os negros, os ogãs, as filhas e pais de santo cantam:

Ele é mesmo nosso pai
e é quem pode nos ajudar...

Omolu promete ir. Mas para que seus filhos negros não o esqueçam avisa no seu cântico de despedida:

Ora, adeus, ó meus filhinhos,
Qu’eu vou e torno a vortá...

E numa noite que os atabaques batiam nas macumbas, numa noite de mistério da Bahia, Omolu pulou na máquina da Leste Brasileira e foi para o sertão de Juazeiro. A bexiga foi com ele.

Jorge Amado, Capitães da Areia.

¹lazareto: estabelecimento para isolamento sanitário de pessoas atingidas por determinadas doenças.

Costuma-se reconhecer que Capitães da Areia pertence ao assim chamado “romance de 1930”, que registra importantes transformações pelas quais passava o Modernismo no Brasil, à medida que esse movimento se expandia e diversificava. No excerto, considerado no contexto do livro de que faz parte, constitui marca desse pertencimento

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Questão 1804

FUVEST

(Fuvest 2012)

Como não expressa visão populista nem elitista, o livro não idealiza os pobres e rústicos, isto é, não oculta o dano causado pela privação, nem os representa como seres desprovidos de vida interior; ao contrário, o livro trata de realçar, na mente dos desvalidos, o enlace estreito e dramático de limitação intelectual e esforço reflexivo.

Essas afirmações aplicam-se ao modo como, na obra:

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