Questão 28

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Considere todos os números complexos z = x + yi , onde x ∈ $mathbb{R}$ , y ∈ $mathbb{R}$ e i = $sqrt{-1}$ , tais que $left | z-sqrt{-1} ight |leq left | frac{sqrt{2}}{1+i} ight |$

Sobre esses números complexos z, é correto afirmar que

nenhum deles é imaginário puro.

existe algum número real positivo.

são todos imaginários.

apenas um é número real.

Gabarito:

apenas um é número real.

Resolução:

Calculando:

$|frac{sqrt{2}}{1+i}| = frac{|sqrt{2}|}{|1+i|} = frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = 1$

Logo:

$|z-sqrt{-1}| leq |frac{sqrt{2}}{1+i}| Rightarrow |z-i| leq |frac{sqrt{2}}{1+i}| Rightarrow |z-i| leq 1$

Reescrevendo:

$Rightarrow |z-i| leq 1$

$Rightarrow |x+(y-1)i| leq 1$

$Rightarrow sqrt{x^2+(y-1)^2} leq 1$

$Rightarrow x^2+(y-1)^2 leq 1$

Logo é a equação de um círculo, em que a solução são todos os pontos no interior da circunferência , incluindo a borda.

Pela imagem podemos ver que há somente um número real que satisfaz a equação: 0

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