Questão 31

Matemática

(AFA - 2009)

O polinômio P₁(x) = mx³ – 2nx² – mx + n², onde {m, n} ⊂ R é unitário e não é divisível por P₂(x) = x

Sabe-se que P1(x) = 0 admite duas raízes simétricas.

Sobre as raízes de P₁(x) = 0 é INCORRETO afirmar que

o número n é uma das raízes.

nenhuma delas é número imaginário.

todas são números inteiros.

uma delas é um número par.

Gabarito:

o número n é uma das raízes.

Resolução:

Como $P_2(x)$ não divide $P_1(x)$ então $x=0$ não é solução de $P_1(x)$ , logo:

$n^2=0 Rightarrow n eq 0$

Como $P_1(x)$ é unitário, então $m=1$

Sejam $x_1$ , $x_2$ e $x_3$ as raízes de $P_1(x)$ . Pela relação de Girard:

$x_1 + x_2 + x_3 = -frac{-2n}{1} = 2n$

Vamos considerar $x_1$ e $x_2$ raízes simpetricas de $P_1(x)$ , logo: $x_1 + x_2 = 0 Rightarrow x_3 = 2n$ . Substituindo:

$P_1(2n) = (2n)^3 - 2n(2n)^2 - 2n + n^2=0$

$8n^3 - 8n^3 - 2n + n^2=0$

$n(n-2)=0$

$n=0 ext{ ou } n=2$

Logo a uníca solução possível é $n=2$ . Assim fatorando $P_1(x)$ :

$P_1(x) = x^3 - 4x^2 -x +4$

$P_1(x) = x^2(x-4)-(x-4)$

$P_1(x) = (x^2-1)(x-4)$

Então as raízes serão 1, -1 e 4, ou seja, nenhuma delas é imaginário, todas são inteiras e uma delas é par.

(AFA - 2009) Considere as proposições abaixo. I. A soma dos infinitos termos da sequência cujo termo geral é , converge para . II. Se ; , o...

(AFA - 2009) Em relação à função real f definida por é INCORRETO afirmar que

(AFA - 2009) Considere num mesmo plano os pontos da figura abaixo, de tal forma que: A área da região sombreada da figura, em função de a, é

(AFA - 2009) Se a função real f é definida por então o conjunto de valores de x para os quais é