Questão 33

Matemática

(AFA - 2009)

Com relação ao binômio $left ( x^{2}+frac{2}{x} ight )^{n}$ é correto afirmar que

se o 5^o termo do desenvolvimento desse binômio, segundo as potências decrescentes de x, é 560x², então n é igual a 7.

se n é ímpar, seu desenvolvimento possui um número ímpar de termos.

possui termo independente de x, ∀ n ∈ *

a soma de seus coeficientes binomiais é igual a 64 quando esse binômio possui seis termos.

Gabarito:

se o 5^o termo do desenvolvimento desse binômio, segundo as potências decrescentes de x, é 560x², então n é igual a 7.

Resolução:

Verificando a D:

Nós podemos reescrever o binômio usando sua notação em somatório da seguinte forma:

$(x^2+frac{2}{x})^n = sum_{p=0}^{n} inom{n}{p}cdot (x^2)^{n-p}cdot (frac{2}{x})^p = sum_{p=0}^{n} inom{n}{p}cdot2^p cdot x^{2n-3p}$

Tomando o termo geral de tal binômio:

$inom{n}{p}cdot2^p cdot x^{2n-3p} = 560x^2$

Então temos:

(I): $2n-3p = 2$

(II): $inom{n}{p}cdot2^p = 560$

Quanto maior P, menor a potência de x. Como tal termo segundo as potências decrescentes de x é o 5º, conclui-se que $p=4$ .

Assim, em (I), temos $2n-3cdot 4 = 2 Leftrightarrow n=7$

Se $n=7$ então, por (II):

$inom{7}{4}2^4 = 35 cdot 16 = 560$

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