Questão 36

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Analise as proposições e classifique-as em verdadeiro (V) ou falso (F).

( ) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 em que det (3A) = 36. Se dividirmos a 1a linha de A por 2 e multiplicarmos a 2^a coluna de A por 4, o valor de det A será 8.

( ) Sejam M e N matrizes quadradas de ordem 3 e N = aM, a ∈ R*. Sabendo-se que det M = $frac{3}{2}$ , det (N^t) = 96 e que N^t é a transposta de N, então a vale 12.

( ) Se A = ${egin{vmatrix} bc & a &a^{2} \ ac &b &b^{2} \ ab &c & c^{2} end{vmatrix}}$ e B = $egin{vmatrix} 1 &a^{2} &a^{3} \ 1& b^{2} &b^{3} \ 1&c^{2} & c^{3} end{vmatrix}$ , então A = B.

( ) Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n. É correto afirmar que (A + B)(A – B) = A² – B², quaisquer que sejam A e B.

Marque a seqüência correta.

V – F – V – F

F – V – F – V

V – V – F – F

V – F – V – V

Gabarito:

V – F – V – F

Resolução:

(I):

$ext{det}(3A) = 3^2 cdot ext{det}(A) Rightarrow 9 cdot ext{det}(A) Rightarrow ext{det}(A) = 4$

Se dividirmos a primeira linha de A por 2 seu determinante será dividido por 2, e ao multiplicarmos a segunda coluna de A por 4, seu determinante será multiplicado por 4.

Logo vamos ter: $ext{det}(A) = frac{4}{2}cdot ext{det}(A) = 2 cdot 4 = 8$

Verdadeiro

(II):

Como $ext{det}(N) = ext{det}(N^t) = 96$ , temos:

$N=aM Rightarrow ext{det}(N) = ext{det}(aM) Rightarrow a^3 cdot ext{det}(M)$

Então:

$96 = a^3 cdot frac{3}{2} Rightarrow a^3 = 64 Rightarrow a=4$

Falso

(III):

Usando o teorema de Laplace:

$left| egin{array}{ccc} bc & a &a^2\ ac & b &b^2 \ ab&c&c^2 end{array} ight| = bc(-1)^{1+1}left| egin{array}{cc} b & b^2\ c & c^2 end{array} ight| + ac(-1)^{2+1}left| egin{array}{cc} a & a^2\ c & c^2 end{array} ight| + ab(-1)^{3+1}left| egin{array}{cc} a & a^2\ b & b^2 end{array} ight|$

$Rightarrow (-1)^{1+1}left| egin{array}{cc} b^2 & b^3\ c^2 & c^3 end{array} ight| + (-1)^{2+1}left| egin{array}{cc} a^2 & a^3\ c^2 & c^3 end{array} ight| + (-1)^{3+1}left| egin{array}{cc} a^2 & a^3\ b^2 & b^3 end{array} ight|$

$Rightarrow left| egin{array}{ccc} 1 & a^2 &a^3\ 1 & b^2 &b^3 \ 1&c^2&c^3 end{array} ight| = B$

Verdadeiro

(IV):

$(A+B)(A-B) = A^2 -AB+BA-B^2$

Como a multiplicação de matrizes não é comutativa, então a afirmativa é Falsa

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