Questão 38

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Os vértices de um triângulo ABC são os centros das circunferências:

(λ₁) x² + y² + 2x – 4y – 1 = 0

(λ₂) 4x² + 4y² + 12x – 8y – 15 = 0

(λ₃) (x – 7)² + (y + 3)² = 8

O tetraedro cuja base é o triângulo ABC e cuja altura, em metros, é igual à média aritmética dos quadrados dos raios das circunferências acima, também em metros, possui volume, em m³, igual a

A

$frac{21}{2}$

B

$frac{21}{4}$

C

$frac{49}{2}$

D

$frac{49}{4}$

Gabarito:

$frac{49}{4}$

Resolução:

Precisamos encontrar os centros e os raios das três circunferências:

Temos:

$(lambda_1)$ :

$x^2+2x+1+y^2-4y+4 = 1+1 + 4$

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 6$

Então: $C=(-1,2)$ e $R = sqrt{6}$

$(lambda_2)$ :

$x^2 + y^2 + 3x - 2y - frac{15}{4} = 0$

$x^2 + 6x + frac{9}{4} + y^2 -2y + 1 = frac{15}{4} + frac{9}{4}+1$

$(x+frac{3}{2})^2 + (y-1)^2 = 7$

Então: $C=(-frac{3}{2},1)$ e $R = sqrt{7}$

$(lambda_3)$ :

$(x-7)^2 + (y+3)^2 = 8$

Então: $C=(7,-3)$ e $R = sqrt{8}$

Achando a área do tetraedro:

$A =frac{|D|}{2}$

Como:

$left| egin{array}{ccc} -1 & 2 &1\ -frac{3}{2} & 1 &1 \ 7&-3&1 end{array} ight| = frac{21}{2}$

Então:

$A =frac{frac{21}{2}}{2} = frac{21}{4}$ m²

A altura do tetraedro:

$h=frac{(sqrt{6}^2) + (sqrt{7}^2) + (sqrt{8}^2)}{3}$

$h=frac{6+7+8}{3} = 7$ m

Logo:

$V = frac{1}{3}cdot A_b cdot h = frac{1}{3} cdot frac{21}{4}cdot 7 = frac{49}{4}$ m³

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