Questão 39
AFA 2009
(AFA - 2009)
Suponha um terreno retangular com medidas de 18 m de largura por 30 m de comprimento, como na figura abaixo:
.png)
Um jardineiro deseja construir nesse terreno um jardim elíptico que tenha os dois eixos com o maior comprimento possível. Ele escolhe dois pontos fixos P e Q, onde fixará a corda que vai auxiliar no traçado. Nesse jardim, o jardineiro pretende deixar para o plantio de rosas uma região limitada por uma hipérbole que possui:
- eixo real com extremidades em P e Q;
- excentricidade e =
Considerando o ponto A coincidente com a origem do plano cartesiano e a elipse tangente aos eixos coordenados, no primeiro quadrante, julgue as afirmativas abaixo.
(01) O centro da elipse estará a uma distância de do ponto A
(02) Para fazer o traçado da elipse o jardineiro precisará de menos de 24 m de corda.
(04) O número que representa a medida do eixo real da hipérbole, em metros, é múltiplo de 5
(08) Um dos focos dessa hipérbole estará sobre um dos eixos coordenados.
A soma dos itens verdadeiros pertence ao intervalo
[1, 5[
[5, 7[
[7, 11[
[11, 15]
Gabarito:
[7, 11[
Resolução:
Desenhando:
Então podemos perceber que:
e
(01):
Aplicando pitágoras em :
Correta
(02):
A soma das distâncias de qualquer ponto aos focos é constante e igual a duas vezes o eixo maior.
Como ,
para qualquer ponto
da elipse.
Falso
(04):
Falso
(08):
Como o eixo focal está contido na reta que passa por P e Q, ambos os focos estão sobre esta reta e distam 15m de O. Logo: e
. Então um dos focos se encontra sobre o eixo das ordenadas.
Correta
Logo a soma dos itens corretos é 9