Questão 47

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Considere a função real f : A $ightarrow$ [1 , 3] definida por f(x)= $egin{vmatrix} 1 &senleft ( frac{x}{2}-frac{pi }{6} ight ) \ -2& 1 end{vmatrix}$

Sabendo-se que a função f é inversível, é correto afirmar que um possível intervalo para o conjunto A é

$egin{bmatrix} frac{pi}{3} ,& frac{7pi}{3} end{bmatrix}$

$egin{bmatrix} frac{4pi}{3}, & frac{7pi}{3} end{bmatrix}$

$egin{bmatrix} frac{4pi}{3}, &frac{10pi}{3} end{bmatrix}$

$egin{bmatrix} frac{7pi}{3}, &frac{10pi}{3} end{bmatrix}$

Gabarito:

$egin{bmatrix} frac{4pi}{3}, & frac{7pi}{3} end{bmatrix}$

Resolução:

Por hipótese:

$f(x)= left| egin{array}{cc} 1 & sin{(frac{x}{2}-frac{pi}{6})}\ -2 & 1 end{array} ight|$

$f(x) = 1 - (-2)sin{(frac{x}{2}-frac{pi}{6})}$

$f(x) = 1+2sin{(frac{x}{2}-frac{pi}{6})}$

Como $ext{Im}(f)=[1,3]$ :

$f(x)=1 Leftrightarrow = 1+2sin{(frac{x}{2}-frac{pi}{6})} = 1 Leftrightarrow sin{(frac{x}{2}-frac{pi}{6})} = 0$

$f(x)=3 Leftrightarrow = 1+2sin{(frac{x}{2}-frac{pi}{6})} = 3 Leftrightarrow sin{(frac{x}{2}-frac{pi}{6})} = 1$

Logo:

$0 leqsin{(frac{x}{2}-frac{pi}{6})} leq 1$

Para que tal função admita inversa, devemos ter, dentro do intervalo $[0,2pi]$ :

$0 leq frac{x}{2} - frac{pi}{6} leq frac{pi}{2}$ ou $frac{pi}{2} leq frac{x}{2} - frac{pi}{6} leq pi$ , pois são os intervalos na qual o seno está entre 0 e 1 e admitem um único valor para a imagem.

Logo:

$0 leq frac{x}{2} - frac{pi}{6} leq frac{pi}{2} Leftrightarrow frac{pi}{6} leq frac{x}{2} leq frac{4pi}{6} Leftrightarrow frac{pi}{3} leq x leq frac{4pi}{6} Leftrightarrow x in [frac{pi}{3}, frac{4pi}{3}]$

$frac{x}{2} leq frac{x}{2} - frac{pi}{6} leq pi Leftrightarrow frac{4pi}{6} leq frac{x}{2} leq frac{7pi}{6} Leftrightarrow frac{4pi}{3} leq x leq frac{7pi}{3} Leftrightarrow x in [frac{4pi}{3}, frac{7pi}{3}]$

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