Questão 50

AFA 2009

Matemática

(AFA - 2009)

Ultimamente, vários adereços têm sido utilizados em bailes e em festas noturnas. Em alguns casos, “lá pelas tantas horas”, são distribuídos óculos coloridos, colares, chapéus e plumas. É um dos momentos de maior descontração na festa.

Em geral, acima da pista de dança, é colocado um objeto luminoso, chamado “sputinik”.

Considere um “sputinik” construído do seguinte modo:

1^o) toma-se um cubo de aresta 3pcm

2^o) em cada encontro de três arestas, retira-se um tetraedro cuja base é um triângulo equilátero de lado p $sqrt{2}$ cm e

3^o) no sólido restante, são acopladas pirâmides triangulares de altura 3p $sqrt{3}$ cm e pirâmides octogonais de altura 3pcm ; ambos os tipos de pirâmides são retas e possuem bases coincidentes com as faces desse sólido.

Se o volume desse “sputinik” é xp³ cm³ , então x é um número do intervalo

[73, 78[

[78, 83[

[83, 88[

[88, 103]

Gabarito:

[78, 83[

Resolução:

De cada vértice tiramos um tetraedro tri-retângulo e em seu lugar colocamos uma pirâmide triangular. Assim retira-se 6 tetraedros tri-retângulos e acoplam-se 6 pirâmides triangulares.

Depois em cada face que apresenta formato octogonal, é acoplada uma pirâmide, e portanto acoplam-se 6 pirâmides de base octogonais.

Depois podemos calcular o volume do Sputinik:

$V_{sputinik} = V_{cubo} - 8V_{tetraedro} + 6V_{piramide-octogonal} + 8V_{piramide-triangular}$

Caculando separadamente:

$V_{cubo} = a^3 = (3p)^3 = 27p^3$ cm3

$V_{tetraedro} = frac{1}{3}cdot A_{base}cdot h = frac{1}{3}cdot (frac{p^2}{2})cdot p = frac{p^3}{6}$ cm3

Calculando a área da base da pirâmide octogonal:

$A_{octogonal} = A_{quadrado} - 4A_{triangulo-retangulo}$

$A_{octogonal} = (3p)^2 - 4frac{p^2}{2} = 9p^2 - 2p^2 = 7p^2$ cm2

Como a altura dessa pirâmide é de $3p$ cm, então seu volume:

$V_{piramide-octogonal} = frac{1}{3}cdot 7p^2 cdot 3p = 7p^3$ cm3

Calculando a área da base da pirâmide triângular:

$A_{triangulo} = frac{(psqrt{2})^2cdot sqrt{3}}{4} = frac{p^2 cdot 2sqrt{3}}{4} = frac{sqrt{3}p^2}{2}$ cm2

Como a altura dessa pirâmide é de $3psqrt{3}$ cm, então seu volume:

$V_{piramide-triangular} = frac{1}{3}cdot frac{sqrt{3}p^2}{2}cdot 3psqrt{3}=frac{3}{2}p^2$ cm3

Calculando tudo:

$V_{sputinik} = V_{cubo} - 8V_{tetraedro} + 6V_{piramide-octogonal} + 8V_{piramide-triangular}$

$V_{sputinik} = 27p^3 - 8cdot frac{p^3}{6} + 6cdot 7p^3 + 8cdot frac{3}{2}p^3=xp^3$

$27 - frac{4}{3} + 42 + 12 = x$

$x = frac{239}{3} approx 79,6dots in [78,83[$

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