Questão 32965
AFA 2010
(AFA - 2010) Sobre a função real f definida por é INCORRETO afirmar que
Im(f) = [-1,2]
é decrescente para todo x
possui 8 raízes no intervalo [0, 2]
tem período igual ao período da função real g dada por g(x) = 2f(x)
Gabarito:
é decrescente para todo x
Resolução:
Façamos . Logo:
Para ,
.
Para ,
.
Letra a): temos duas configurações possíveis para f(x) como exibidas acima. Para 2x entre k. e 2k.
,
assume valor mínimo -1 e valor máximo 0, então, neste intervalo, a imagem de f(x) vai de -1 a 2. Para 2x entre 0 e k.
,
assume valor mínimo 0 e valor máximo 1, então, neste intervalo, a imagem de f(x) vai de -1 a 2, também. Logo, podemos afirmar que a Letra a) está correta, pois Im(f) = [-1,2].
Letra b): O intervalo que esta alternativa relaciona é , então 2x vai de
a
. Neste intervalo, de
a
, f(x) assume a segunda forma apresentada acima, já que sen(2x) maior que ou igual a 0 e de
a
, f(x) assume a primeira forma
apresentada, já que sen(2x) é menor que zero. O enunciado deste item afirma f(x) é decrescente em todo este intervalo. Mas isto não pode acontecer, pois, para 2x = , f(x) = 2 e para 2x =
, f(x) também é igual a 2. Depois de
, por exemplo, 2x =
,
f(x) assume valor -1. Logo, f(x) não é decrescente neste intervalo. Como este item está incorreto e a questão nos pede o item incorreto, então devemos marcar este gabarito.
Letra c): Para se obter as raízes de f(x), devemos igualar sua expressão a zero. Como x pertence a [0, 2], então, 2x pertence a [0, 4
].
Para : 2x no intervalo de 0 a
e de 2
a 3
, então x está no intervalo de 0 a
e de
a
.
.
Repare que 2x é menor que 30º, então, x é menor que 15º. 2x de 0 a há duas soluções possíveis (arcsen(1/3) e
- arcsen(1/3)) e de 2
a 3
há outras duas soluções possíveis (2
+ arcsen(1/3) e 3
- arcsen(1/3)). Logo, neste intervalo há um total de quatro soluções possíveis.
Para : 2x no intervalo de
a 2
e de 3
a 4
, então x está no intervalo de
a
e de
a 2
.
.
Da mesma maneira como expresso anteriormente, x de a 2
há duas soluções possíveis (
+ arcsen(1/3) e 2
- arcsen(1/3)) e de 3
a 4
há duas outras soluções possíveis (3
+ arcsen(1/3) e 4
- arcsen(1/3)). Logo, neste intervalo há quatro soluções possíveis.
Logo, esta afirmativa está correta, pois possuímos 8 raízes no intervalo considerado.
Letra d): O período da função f vem da função sen(2x) e não dos coeficientes que acompanham sen(2x) ou os termos independentes de x que somam-se a sen(2x). Como g(x) é apenas uma multiplicação de uma constante, 2, por f(x), o período de f(x) não sofre alteração, pois não foi alterada a função sen(2x). Logo, esta afirmativa também está correta!
A alternativa correta é, portanto, a Letra B.
PS: Gráfico da função plotado no Geogebra: