Questão 23

AFA 2010

Matemática

(AFA - 2010) Sejam as funções f: IN -> IR e g: IN -> IR definidas por $f(x) = frac{x}{2}$ e $g(x) = 2^{-x}$ .

Considere os números A e B, tais que

A = f(1) + f(2) + ... +f(50) e

B = 1 + g(1) + g(2) + ... + g(n) + ...

Se o produto de A e B tende a um número $alpha$ , então, $alpha$ é:

ímpar múltiplo de 9.

par divisor de 10 000.

par múltiplo de 15.

ímpar múltiplo de 25.

Gabarito:

ímpar múltiplo de 25.

Resolução:

1) A trata-se de uma soma de uma PA.

2) Possui razão $frac{1}{2}$ , com 50 termos, $a_1 = frac{1}{2}$ , $a_n = frac{50}{2} = 25$ .

3) Logo

$large A = S_n = frac{(frac{1}{2}+frac{50}{2}) cdot 50}{2} = frac{1275}{2}$

4) B trata-se de uma soma de uma PG infinita.

5) Possui razão $frac{1}{2}$ , com infinitos termos, $a_1 = 1$

6) Logo,

$B = S_n = frac{1}{1-frac{1}{2}} = 2$

7) o produto de A e B tende a um número $alpha$

Logo

$alpha = frac{1275}{2} cdot 2 = 1275$

8) Observando as alternativas:

ímpar múltiplo de 9. -> 1275 não é múltiplo de 9, visto que 1+2+7+5=15 e 1+5 = 6.
par divisor de 10 000. -> 1275 não é par.
par múltiplo de 15. -> 1275 não é par.
ímpar múltiplo de 25.

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