Questão 22047

AFA 2012

Matemática

(AFA - 2012) Considere A o conjunto mais amplo possível na função real $f:A ightarrow mathbb{R}$ , dada por

$fleft(x ight )=frac{senleft(x ight )}{cossecleft(x ight )}+frac{cosleft(x ight )}{secleft(x ight )}$ .

Sobre a função f é correto afirmar que :

$A=left{xinmathbb{R} | x eqfrac{kpi}{2},kinmathbb{Z} ight}$

é periódica com período igual a $pi$ .

é decrescente se $xinleft{xinmathbb{R}|frac{pi}{2}+2kpi< x < pi + 2kpi, kinmathbb{Z} ight}$

é impar

Gabarito:

$A=left{xinmathbb{R} | x eqfrac{kpi}{2},kinmathbb{Z} ight}$

Resolução:

Sabemos que $frac{1}{cossec(x)} = sen(x)$ e $frac{1}{sec(x)} = cos(x)$ , desde que $cossec(x) eq 0$ e $sec(x) eq 0$ , ou seja, desde que $x eq frac{kcdot pi}{2}$ .

Reescrevendo a função, temos:

$f(x) = frac{sen(x)}{cossec(x)} + frac{cos(x)}{sec(x)} = sen^2(x) + cos^2(x) = 1$

Desde que $x eq frac{kcdot pi}{2}$ , para todo k pertencente aos inteiros.

Dessa forma, teremos o seguinte gráfico para f(x):

Analisando as alternativas, vemos que a única verdadeira é a letra A.

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