Questão 6473
AFA 2012
(AFA - 2012) Considere f uma função quadrática de raízes reais e opostas.
O gráfico de f intercepta o gráfico da função real g definida por g(x) = – 2 em exatamente um ponto.
Se e D(f) = D(g) =
, então, é INCORRETO afirmar que
f(x) – g(x) > 0, ∀x ∈ .
o produto das raízes de f é um número ímpar.
a função real h definida por h(x) = g(x) - f(x) admite valor máximo.
f é crescente ∀x ∈ .
Gabarito:
f(x) – g(x) > 0, ∀x ∈ .
Resolução:
é função quadrática, logo:
Sejam
e
as raízes de
. Logo:
De (2) - (1), segue que:
pois
é qualquer número real!
Com isso, veja que é uma função par, pois:
. Desse modo, tem-se que o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo y.
toca
em exatamente um ponto. Com essa informação, é possível descobrir que
é uma parábola cuja concavidade é voltada para cima (ou seja,
), tocando
em -2. Assim, conclui-se que
.
Logo:
ERRATA: na análise da alternativa d, deveria estar:
f é positiva para o intervalo mencionado.
Mas isso não confirma a alternativa. Para tal, temos que analisar quando a função é crescente. Pelo gráfico, vemos que:
portanto, f é crescente para x>0 e decrescente para x<0.
Logo, a alternativa d está correta pois afirma que a função é crescente no intervalo de .