Questão 32714

Gabarito:

18

Resolução:

PA: 1, a₂, a₃, a₄ de razão r, ou seja, a₂ = 1 + r, a₃ = 1 + 2r, a₄ = 1 + 3r. Como r = 2q, então os elementos são a₂ = 1 + 2q, a₃ = 1 + 4q, a₄ = 1 + 6q.

PG: 1, b₂, b₃, b₄ de razão q, ou seja, b₂ = 1.q = q, b₃ = 1.q² = q², b₄ = 1.q³ = q³.

O enunciado nos fala que ambas possuem a mesma soma dos termos, então, apliquemos a fórmula da soma dos termos da PA e da PG e igualemos os resultados:

Como a equação acima é cúbica, então só é possível encontrar três raízes. O procedimento padrão é chutarmos valores baixos para ver se encontramos valores que sejam raízes:

q = 1: 1³ + 1² - 11 - 3 = 1 + 1 - 11 - 3 = -12, logo q = 1 não é raiz.

q = 2: 2³ + 2² - 11.2 - 3 = 8 + 4 - 22 - 3 = -13, logo q = 2 não é raiz.

q = 3: 3³ + 3² - 11.3 - 3 = 27 + 9 - 33 - 3 = 36 - 36 = 0, logo q = 3 é raiz.

Já que achamos q = 3 raiz, precisamos achar as outras raízes do polinômio acima para vermos se há outros possíveis valores para q.

Como q = 3 é raiz, então q³ + q² - 11q - 3 = (q - 3).(a.q² + b.q + c), onde a, b e c são coeficientes reais que precisamos encontrar. Desenvolvendo isto:

(q - 3).(a.q² + b.q + c) = a.q³ + b.q² + c.q - 3a.q² - 3b.q - 3c = q³.(a) + q².(b - 3a) + q.(c - 3b) - 3c = q³ + q² - 11q - 3. Pela equivalência de polinômios, podemos fazer:

a = 1
b - 3a = 1, como a = 1, então b - 3 = 1 => b = 4
c - 3b = -11, como b = 4, então c - 12 = -11 => c = 1

Daí, o polinômio q³ + q² - 11q - 3 é igual a (q - 3).(q² + 4q + 1). [repare que poderíamos fazer pro Briot-Ruffinni]

Agora só precisamos achar as raízes do polinômio q² + 4q + 1. Por Bháskara encontramos as raízes

Como o enunciado fala que as progressões são crescentes, então q deve ser positivo. Repare que tanto  quanto  são valores negativos de q. Logo, estes valores não podem ser a razão q da PG.

 

Daí, só nos resta dizer que a razão da PG é q = 3 e a razão da PA é r = 2.q = 2.3 = 6.

Por isto que r.q = 3.6 = 18.

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.