Questão 32966

AFA 2012

Matemática

(AFA - 2012) Sendo x $in$ [0,2 $pi$ ], a interpretação gráfica no ciclo trigonométrico para o conjunto solução da inequação $-8sen^{4}x+10sen^{2}x-3<0$ é dada por

Gabarito:

Resolução:

Para x $in$ [0,2 $pi$ ], $-8sen^{4}x+10sen^{2}x-3<0$ :

Vamos substituir o $sen^2x$ por uma nova incógnita, digamos, $p$ , ou seja, $sen^2x=p$ . Agora a equação acima fica assim:

$-8p^2+10p-3<0$

Agora é fácil ver que a equação acima se trata de equação quadrática. Vamos realizar o mesmo procedimento que Bháskara realizava:

$-8p^2+10p-3<0\\ Delta = b^2-4cdot acdot c = left(10 ight )^2-4cdotleft(-8 ight )cdot left(-3 ight )=100-96=4Rightarrow sqrt{Delta}=sqrt{4}=2\\ p=frac{-10pmsqrt{Delta}}{2cdotleft(-8 ight )}=frac{-10pm2}{-16}=frac{10mp2}{16}=frac{1}{2},,ou,,frac{3}{4}$

Estes são os dois valores possíveis para $sen^2x=p$ . Para que $-8p^2+10p-3<0$ , então $p$ deve assumir valores fora do intervalo $(frac{1}{2}, frac {3}{4} )$ . Logo:

$sen^2x<frac{1}{2},,ou,,sen^2x>frac{3}{4}$ .

Porém, proponho fazermos diferente. Proponho fazermos a solução considerando o oposto de $sen^2x<frac{1}{2},,ou,,sen^2x>frac{3}{4}$ , ou seja, $frac{1}{2}<sen^2x<frac{3}{4}$ . Como $sen^2x<frac{1}{2},,ou,,sen^2x>frac{3}{4}$ é o oposto de $frac{1}{2}<sen^2x<frac{3}{4}$ , então, as raízes que acharmos para o estudo de valores de $x$ para $frac{1}{2}<sen^2x<frac{3}{4}$ serão opostas às raízes de $sen^2x<frac{1}{2},,ou,,sen^2x>frac{3}{4}$ .

Vamos achar primeiramente, portanto, as raízes para $frac{1}{2}<sen^2x<frac{3}{4}$ .

$sen^2x>frac{1}{2}$ :

Nós não podemos simplesmente tirar a raiz de $frac{1}{2}$ e ver o que $senx$ é maior. Temos que passar o $frac{1}{2}$ para a esquerda e fazer diferença de quadrados e estudar os intervalos possíveis soluções para $sen^2x>frac{1}{2}$ .

$sen^2x>frac{1}{2}Rightarrow left(senx-sqrt{frac{1}{2}} ight )cdotleft(senx+sqrt{frac{1}{2}} ight )>0Rightarrow \\ left(senx-frac{sqrt{2}}{2} ight )cdotleft(senx+frac{sqrt{2}}{2} ight )>0$

Se $senx-frac{sqrt{2}}{2}>0Rightarrow senx>frac{sqrt{2}}{2}$ , como $frac{sqrt{2}}{2}=senleft(45^{circ} ight ),,ou,,senleft(135^{circ} ight )Rightarrow frac{sqrt{2}}{2}=senfrac{pi}{4},,ou,,senfrac{3pi}{4}$ , então

$senx>frac{sqrt{2}}{2}Rightarrow senx>senleft(frac{pi}{4} ight )Rightarrow x>frac{pi}{4},,ou\ senx>senleft(frac{3pi}{4} ight )Rightarrow x<frac{3pi}{4}$ . Dai, $frac{pi}{4}<x<frac{3pi}{4}$ .

Se $senx-frac{sqrt{2}}{2}<0Rightarrow senx<frac{sqrt{2}}{2}$ , então $senx+frac{sqrt{2}}{2}<0Rightarrow senx<-frac{sqrt{2}}{2}$ , pois $left(senx-frac{sqrt{2}}{2} ight )cdotleft(senx+frac{sqrt{2}}{2} ight )>0$ . Logo, $senx<-frac{sqrt{2}}{2}$ .

Se $-frac{sqrt{2}}{2}=senfrac{5pi}{4},,ou,,senfrac{7pi}{4}$ , então $senx<-frac{sqrt{2}}{2}Rightarrow senx<senleft(frac{5pi}{4} ight ),,ou,,senx<senleft(frac{7pi}{4} ight )$ . Como estamos trabalhando com a parte de baixo do ciclo trigonométrico, ou seja, para valores negativos de $senx$ , então para $senx<senleft(frac{5pi}{4} ight )$ , $x$ deve ser maior que $frac{5pi}{4}$ e para $senx<senleft(frac{7pi}{4} ight )$ , $x$ deve ser menor que $frac{7pi}{4}$ . Logo, $frac{5pi}{4}<x<frac{7pi}{4}$ .

Agora vamos pra segunda parte da solução:

$sen^2x<frac{3}{4}$ :

Seguindo o mesmo raciocínio anterior, vemos que

$sen^2x<frac{3}{4}Rightarrow left(senx-sqrt{frac{3}{4}} ight )cdotleft(senx+sqrt{frac{3}{4}} ight )<0Rightarrow \\ left(senx-frac{sqrt{3}}{2} ight )cdotleft(senx+frac{sqrt{3}}{2} ight )<0$

Se $senx-frac{sqrt{3}}{2}>0Rightarrow senx>frac{sqrt{3}}{2}$ . Já que $left(senx-frac{sqrt{3}}{2} ight )cdotleft(senx+frac{sqrt{3}}{2} ight )<0$ , então $senx+frac{sqrt{3}}{2}$ deve ser menor que 0, daí $senx+frac{sqrt{3}}{2}<0Rightarrow senx<-frac{sqrt{3}}{2}$ . Mas como pode $senx>frac{sqrt{3}}{2}$ e $senx<-frac{sqrt{3}}{2}$ ao mesmo tempo? Não pode, então devemos desconsiderar esta possibilidade.

Se $senx-frac{sqrt{3}}{2}<0Rightarrow senx<frac{sqrt{3}}{2}$ , então $senx+frac{sqrt{3}}{2}>0Rightarrow senx>-frac{sqrt{3}}{2}$ , pois $left(senx-frac{sqrt{3}}{2} ight )cdotleft(senx+frac{sqrt{3}}{2} ight )<0$ . Logo, $frac{-sqrt{3}}{2}<senx<frac{sqrt{3}}{2}$ .

Se $-frac{sqrt{3}}{2}=senfrac{4pi}{3},,ou,,senfrac{5pi}{3}$ e $frac{sqrt{3}}{2}=senfrac{pi}{3},,ou,,senfrac{2pi}{3}$ , então $senx>-frac{sqrt{3}}{2}Rightarrow x<frac{4pi}{3},,ou,,x>frac{5pi}{3}$ e $senx<frac{sqrt{3}}{2}Rightarrow x<frac{pi}{3},,ou,,x>frac{2pi}{3}$ . Então só nos resta escrever:

$frac{5pi}{3}<x<frac{pi}{3},,ou,,frac{2pi}{3}<x<frac{4pi}{3}$ .

As raízes que achamos para $frac{1}{2}<sen^2x<frac{3}{4}$ foi, portanto, $frac{pi}{4}<x<frac{3pi}{4}$ , $frac{5pi}{4}<x<frac{7pi}{4}$ , $frac{5pi}{3}<x<frac{pi}{3}$ e $frac{2pi}{3}<x<frac{4pi}{3}$ . Juntando todas estas raízes em um ciclo trigonométrico, vemos que $x$ só pode assumir os seguintes valores, pois há conflitos entre valores de intervalos, $frac{pi}{4}<x<frac{pi}{3}$ , $frac{2pi}{3}<x<frac{3pi}{4}$ , $frac{5pi}{4}<x<frac{4pi}{3}$ ou $frac{5pi}{3}<x<frac{7pi}{4}$ .

Como as raízes para $sen^2x<frac{1}{2},,ou,,sen^2x>frac{3}{4}$ são opostas às raízes de $frac{1}{2}<sen^2x<frac{3}{4}$ , então as raízes de $sen^2x<frac{1}{2},,ou,,sen^2x>frac{3}{4}$ são:

$0leq x<frac{pi}{4}$ , $frac{pi}{3}<x<frac{2pi}{3}$ , $frac{3pi}{4}<x<frac{5pi}{4}$ , $frac{4pi}{3}<x<frac{5pi}{3}$ ou $frac{7pi}{4}<xleq0$ .

SUGESTÃO: Faça esta questão desenhando os arcos possíveis para cada solução no círculo trigonométrico no seu rascunho. Ficará melhor a visualização.

A alternativa correta é, portanto, a Letra C.

Questão 32966

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