Questão 11

AFA 2012

Matemática

(AFA - 2012) Considere as proposições abaixo e as classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa:

Nas funções reais $g:C ightarrow A$ e $f:A ightarrow B$ , se existe a função composta $left(fcirc g ight ):P ightarrow S$ , então $P=C$ e $S=B$ .
Se $h:left{m,,,n,,,p ight} ightarrowleft{m,,,n,,,p ight}$ é uma função tal que $hleft(m ight )=p$ , $hleft(n ight )= m$ e $hleft(p ight ) eq n$ , então $h$ é uma função injetora.
Se $f:left{0,,,1,,,2 ight} ightarrowleft{0,,,1,,,2 ight}$ é uma função tal que,
$fleft(x ight )= egin{cases} x+1, & se,,,x eq1,,e,, x eq2\ x, & se,,,x=2\ x-1, & se,,,x=1 end{cases}$ ,
então $left(fcirc fcirc f ight )^{-1}left(x ight )=1$ , se, e somente se, $x=0$ .

A sequência correta é

A

F - F - V

B

V - V - F

C

F - V - F

D

V - F - V

Gabarito:

V - F - V

Resolução:

$I-Verdadeira$

Em uma função composta preserva-se o domínio de $f$ e o contra domínio de $g$

$II-Falsa$

Se $h(p)$ não possui imagem no contradomínio então a função $h(x)$ não existe, e muito menos é injetora.

$III-Verdadeira$

A partir dos dados temos de $f(x)$ temos:

$f(0)=1$

$f(1)=0$

$f(2)=2$

Vamos analisar primeiramente que:

$f^{-1}(f(f(x)))$

Se x = 2, a expressão é:

$f(f(f(2)))^{-1}=f^{-1}(2) = 2$

Se x = 1, a expressão é:

$f^{-1}(f(f(1)))=f^{-1}(f(0))=f^{-1}(1)=0$

E se x = 0:

$f^{-1}(f(f(0)))=f^{-1}(f(1))=f^{-1}(0)=1$

Então verifica-se que $(fofof)^{-1}(x)=1$ somente para $x=0$ .

Alternativa D.

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