Questão 20

AFA 2012

Matemática

(AFA - 2012)

Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6 cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura 3 cm, de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede $sqrt{5}$ cm, então, o volume do sólido obtido, em cm³ , é igual a

A

$15sqrt{3}$

B

$20sqrt{3}$

C

$25sqrt{3}$

D

$30sqrt{3}$

Gabarito:

$20sqrt{3}$

Resolução:

Para calcular o volume da pirâmide, temos:

$V = frac{A_{base}cdot h }{3}$

Considerando a área da base da pirâmide hexagonal:

a base dessa pirâmide é um hexagono regular e essa figura pode ser dividade em 6 triângulos equiláteros de lado l, da seguinte maneira:

para calcular a área de um triângulo equilátero basta fazer:

$A_{equilatero} = frac{l^2sqrt{3}}{4}$

$A_{equilatero} = frac{(sqrt{5})^2sqrt{3}}{4} = frac{5cdotsqrt{3}}{4}$

Como são 6 triângulos equiláteros, podemos multiplicar por 6:

$A_{equilatero} =6cdot frac{5cdotsqrt{3}}{4}$

$A_{equilatero} =frac{30cdotsqrt{3}}{4}$

$A_{equilatero} =frac{15cdotsqrt{3}}{2}$ (simplificando por 2)

Volume da pirâmide hexagonal:

$V = frac{1}{3}cdot frac{15cdotsqrt{3}}{2} cdot 6$

$V = frac{15cdotsqrt{3}}{6} cdot 6$

$V = frac{15cdotsqrt{3}}{cancel 6} cdot cancel 6$

$V =15cdotsqrt{3}$

Para a pirâmide reta de base retangular:

área da base retangular:

a parte destacada de azul representa a base retangular

$sen60^o = frac{CO}{H} = frac{x}{sqrt{5}}$

$frac{sqrt{3}}{2} = frac{x}{sqrt{5}}$

$2x = sqrt{5}cdotsqrt{3}$

$2x = sqrt{15}$

área do retângulo:

$A_{retangulo} = 2xcdot sqrt{5}$

$A_{retangulo} = sqrt{15}cdot sqrt{5}$

$A_{retangulo} = sqrt{75} = 5sqrt{3}$

Volume da pirâmide de base retangular:

$V{retangular} = frac{1}{3}cdot 5sqrt{3} cdot 3$

$V{retangular} = frac{1}{cancel3}cdot 5sqrt{3} cdot cancel3 = 5sqrt{3}$

Calculando o volume TOTAL da figura:

$V{total} = 15sqrt{3}+ 5sqrt{3} = 20sqrt{3}$

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