Questão 7593
(AFA - 2012) O valor de n tal que sendo i a unidade imaginaria, é
par menor que 10
primo maior que 8
ímpar menor que 7
múltiplo de 9
Gabarito:
múltiplo de 9
Resolução:
Temos o somatório dos termos de uma PG de termo inicial (1 + i) e razão (1 + i).
Assim, basta-nos usar a expressão de soma dos n primeiros termos de um PG para encontrar o valor de n para que o somatório resulte em 31 + i:
Sn = (1+i)*(1 - (1+i)n)/(1 - (1+i)) = (1+i)*(1 - (1+i)n)/(-i)
Multiplicando em cima e em baixo por i, temos:
Sn = (1+i)*(1 - (1+i)n)*i = (-1 + i)*(1 - (1+i)n) = 31 + i
Multiplicamos ambos os membros por -1 - i:
(-1-i)(-1 + i)*(1 - (1+i)n) = (31 + i)(-1-i), então
2*(1 - (1+i)n) = -(30 + 32i), então
1 - (1+i)n = -(15 + 16i), então
1 + 15 + 16i = (1+i)n, então
16*(1 + i) = (1 + i)n, então
16 = (1 + i)n-1
Passando 1 + i para a forma trigonométrica, temos:
1 + i = √2 * cis(/4)
Assim, temos que:
16 = (√2 * cis(/4))n-1, então
16 = (√2)n-1 * cis((n-1)/4)
24 = 2(n-1)/2 * cis((n-1)/4)
Assim, (n-1)/2 = 4, então n = 9