Questão 27

Matemática

(AFA - 2014)

No ciclo trigonométrico da figura abaixo acrescentou-se as retas r, s, t e z.

Nestas condições, a soma das medidas dos três segmentos em destaque, AT, TP e PB, pode ser calculado, como função de por

Gabarito:

Resolução:

O enunciado requer a soma dos segmentos PB + PT + AT

Como estamos no ciclo trigonométrico, o raio da circunferência vale 1 .

triângulo OPB - Retângulo :

tg( $alpha$ ) = (cateto oposto) / (cateto adjacente)

tg ( $alpha$ ) = PB/Raio

tg ( $alpha$ ) = PB/1

PB = tg ( $alpha$ )

No triângulo OTV, retângulo como indicado na figura do enunciado:

cos( $alpha$ ) = (cateto adjacente ) / (hipotenusa)

cos( $alpha$ ) = raio /OT

cos( $alpha$ ) = 1/OT,

OT = 1 /cos( $alpha$ )

Temos que OT = Raio + TP $ightarrow$ OT = 1 + TP

TP = OT - 1

TP = (1 /cos( $alpha$ ) ) - 1

Como TV = tg( $alpha$ ) e VA = raio = 1

então AT = 1 - TV = 1 - tg( $alpha$ )

AT = 1 - tg( $alpha$ )

Somando PB + AT + PT :

$egin{bmatrix} PB = tgalpha \ AT=1-tgalpha \ PT = frac{1}{cosalpha}-1 end{bmatrix}$

$PB + AT + PT = \tanalpha+1-tgalpha+frac{1}{cosalpha}-1=\frac{1}{cosalpha} = secalpha$

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