Questão 31

AFA 2014

Matemática

(AFA - 2014) Considere no plano complexo, o conjunto dos números $z=x+iy$ ; $left{ x,y ight }subsetmathbb{R}$ e i (a unidade imaginária) que satisfazem a condição $|z|geq|2z+1|$ .

É FALSO que:

este conjunto pode ser representado por um círculo de raio igual a 1/3.

z = -1 é o elemento de maior módulo, neste conjunto.

z = -1/3 é o elemento de maior argumento, neste conjunto.

não existe z, neste conjunto, que seja imaginário puro.

Gabarito:

z = -1/3 é o elemento de maior argumento, neste conjunto.

Resolução:

Seja $z = x + yi$ , com x e y reais, temos que:

$|z| geq |2z + 1|$

$|x + yi| geq |(2x+1) + 2yi|$

$sqrt{x^{2}+y^{2}} geq sqrt{(2x+1)^{2}+4y^{2}}$

Como ambos os membros são positivos, podemos elevar ao quadrado sem alterar a desigualdade:

$x^{2}+y^{2} geq (2x+1)^{2}+4y^{2}$

$x^{2}+y^{2} geq 4x^2+4x+1+4y^{2}$

$3x^{2}+4x + 1 + 3y^{2}leq 0$

Dividindo tudo por 3, temos

$x^{2}+frac{4}{3}x + frac{1}{3} + y^{2}leq 0$

Somamos 1/9 em ambos os lados para completar o quadrado perfeito em x:

$x^{2}+frac{4}{3}x + frac{1}{3} + frac{1}{9} + y^{2}leq frac{1}{9}$

$x^{2}+frac{4}{3}x + frac{4}{9} + y^{2}leq frac{1}{9}$

$(x+frac{2}{3})^{2}+ y^{2}leq frac{1}{9}$

Vemos que essa equação representa o interior de uma circunferência de centro $(-frac{2}{3}, 0)$ e raio $frac{1}{3}$ no plano cartesiano. Esboçando o gráfico, temos:

a) O raio do círculo é $frac{1}{3}$ → correta

b) z₁ é o complexo de maior módulo, pois o seu afixo está mais distante da origem. Está localizado no ponto (-1,0). Logo, $z_1=-1$ . → correta

c) Pela análise gráfica, vemos que z₂ é o complexo de maior argumento. Nota-se que z₂ possui uma parte imaginária não nula, logo não pode ser $-frac{1}{3}$ , já que dessa forma ele não teria parte imaginária. → incorreto

d) Para um complexo ser imaginário puro, precisa estar contido no eixo y. Como o eixo imaginário não possui pontos de intersecção com o círculo do gráfico, temos que não existe z imaginário puro. → correta

Alternativa falsa é Letra C.

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