Questão 21

AFA 2014

Matemática

(AFA - 2014)

Uma escultura de chapa de aço com espessura desprezível foi feita utilizando-se inicialmente uma chapa quadrada de 1 metro de lado apoiada por um de seus vértices sobre um tubo cilíndrico. A partir desse quadrado, a escultura foi surgindo nas seguintes etapas:

1^a ) Em cada um dos 3 vértices livres do quadrado foi construído um quadrado de lado $frac{1}{2}$ metro.

2^a) Em cada um dos vértices livres dos quadrados construídos anteriormente, construiu-se um quadrado de lado $frac{1}{4}$ de metro.

E assim, sucessivamente, em cada vértice livre dos quadrados construídos anteriormente, construiu-se um quadrado cuja medida do lado é a metade da medida do lado do quadrado anterior. A figura seguinte esquematiza a escultura nas etapas iniciais de sua confecção.

Considerando que a escultura ficou pronta completadas sete etapas, é correto afirmar que a soma das áreas dos quadrados da 7ª etapa é igual a

A

$left ( frac{1}{4} ight )^{7}$

B

$left ( frac{3}{4} ight )^{8}$

C

$left ( frac{1}{4} ight )^{8}$

D

$left ( frac{3}{4} ight )^{7}$

Gabarito:

$left ( frac{3}{4} ight )^{7}$

Resolução:

$A_0=l^2$ ⇒ $l_0=l$

$A_1=3^1 cdot left ( frac{l_0}{2} ight )^2=3 cdot frac{l^2}{4}$ ⇒ $l_1=frac{l_0}{2}=frac{l}{2}$

$A_2=3^2 cdot left ( frac{l_1}{2} ight )^2=9 cdot frac{l^2}{16}$ ⇒ $l_2=frac{l_1}{2}=frac{l}{4}$

...

Notamos que a razão da progressão geométrica é $frac{3}{4}$ . Logo:

$A_n=left (frac{3}{4} ight )^{n} cdot l^2$

$A_7=left (frac{3}{4} ight )^{7} cdot 1$

$A_7=frac{3^7}{4^7}$

Alternativa correta é Letra A.

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