Questão 20

AFA 2015

Matemática

(AFA - 2015)

Considere o polinômio $p(x)=ax^{4}+bx^{3}+2x^{2}+1, left { a,b ight }subset mathbb{R}$ e marque a alternativa FALSA.

A

$x=0$ não é raíz do polinômio $p(x)$

B

Existem valores distintos para a e b tais que $x=1$ ou $x=-1$ são raizes de $p(x)$

C

Se 0 $a=0$ e , $b=3$ o resto da divisão de $p(x)$ por $3x^{2}-x+1$ é zero.

D

Se $a=b=0$ tem-se que $x=-frac{1}{2}i$ é uma raíz de $p(x)$ , considerando que $i^{2}=-1$

Gabarito:

Se $a=b=0$ tem-se que $x=-frac{1}{2}i$ é uma raíz de $p(x)$ , considerando que $i^{2}=-1$

Resolução:

A) $p(x)=ax^4+bx^3+2x^2+1$

$p(0)=1$

$x=0$ não é raiz do polinômio (verdadeiro)

B) $p(1)=a+b+2+1=a+b+3=0$

$p(-1)=a-b+2+1=a-b+3=0$

$left{egin{matrix} a+b+3=0\ a-b+3=0 end{matrix} ight.$

$a=-3$ e $b=0$ são valores distintos (verdadeiro)

C) $p(x)=3x^3+2x^2+1$

$p(x)=3x^3+2x^2+(x^2-x^2)+(-x+x)+1$

$p(x)=3x^3+3x^2-x^2-x+x+1$

$p(x)=3x^2(x+1)-x(x+1)+(x+1)$

$p(x)=(x+1)(3x^2-x+1)$

A divisão de $p(x)$ por $3x^2-x+1$ deixa resto zero. (verdadeiro)

D) $p(x)=2x^2+1=0$

$x^2=-frac{1}{2}$

$x=-frac{1}{sqrt{2}}i$ ou $x=frac{1}{sqrt{2}}i$ (falso)

Alternativa correta é Letra D.

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