Questão 6108

AFA 2015

Matemática

(AFA - 2015) Considere as funções reais f e g definidas por

$f(x)=frac{1}{2}cdot det egin{vmatrix} 2 & cos(2x)\ 2sen(2x) & frac{1}{2} end{vmatrix}$ e marque a alternativa incorreta.

o conjunto imagem da função f é o intervalo [0, 1]

A função g é ímpar.

A função real h definida por $h(x) = -frac{1}{2} + g(x)$ possui duas raízes no intervalo $left [ 0, frac{pi }{2} ight ]$

O período da função real j definida por $j(x) = left | -frac{1}{2}+ g(x) ight |$ é $frac{pi }{2}$

Gabarito:

A função real h definida por $h(x) = -frac{1}{2} + g(x)$ possui duas raízes no intervalo $left [ 0, frac{pi }{2} ight ]$

Resolução:

$f(x) = frac{1}{2} cdot egin{bmatrix} 2 & cos(2x) \ 2sen(2x)&frac{1}{2} end{bmatrix}$

$f(x) = frac{1}{2} (1-2sen(2x) cos(2x))$

$f(x) = frac{1}{2}(1-sen(4x))$

$j(x) = |sen(frac{4x-1}{2}) = frac{1 - sen(4x)}{2}$

$T = frac{2pi}{4} = frac{pi}{2}$

$g(x) = frac{sen(4x)}{2}$

a) $-1 leq sen(4x) leq 1 Rightarrow sen(4x) = 1 Rightarrow f(x) = 0$

$sen(4x) = -1 Rightarrow f(x) = 1$

b) $-p(x) = p(-x) Rightarrow impar$

$g(x) = frac{sen(4x)}{2} Rightarrow g(-x) = frac{sen(-4x)}{2} = -frac{sen(4x)}{2} = -g(x)$

$h(x) = frac{sen(4x) -1}{2} = 0$

$sen(4x) = 1$

$4x = frac{pi}{2} + 2kpi$

$x = frac{pi}{8} + frac{kpi}{2} Rightarrow k = 0 Rightarrow x = frac{pi}{8}$

$k=1 Rightarrow x = frac{5pi}{8}$

Pertence ao intervalo $[frac{pi}{2}, pi]$

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