Questão 31

AFA 2015

Matemática

(AFA - 2015)

Considere no plano cartesiano um triângulo equilátero ABC em que:

os vértices B, de abscissa positiva, e C, de abscissa negativa, estão sobre o eixo OX;

possui baricentro no ponto $Gleft(0,frac{sqrt{3}}{3} ight )$

Considere também, nesse mesmo plano cartesiano, a circunferência λ₁ inscrita e circunferência λ₂ circunscrita ao triângulo
ABC.

Analise as proposições abaixo e escreva (V) para verdadeira e (F) para falsa.

( ) A reta r, suporte do lado AB, passa pelo ponto (-1, b), em que b é o dobro do oposto do coeficiente angular de r

( ) O círculo delimitado por λ₂ contém o ponto $left(-frac{1}{2},sqrt{3} ight )$

( ) O ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares de abscissa pertence a λ₁

A sequência correta é

A

V - F - V

B

F - F - V

C

V - F - F

D

F - V - F

Gabarito: V - F - V

Resolução:

A sequência correta é

$Aequiv (0,m)$ , $Bequiv (n,0)$ e $Cequiv (-n,0)$ .

i) A distância do baricentro G até a origem do sistema cartesiano mede $frac{1}{3}$ da altura do triângulo:

$frac{1}{3}cdot frac{sqrt{3}l}{2}=frac{sqrt{3}}{3}$

$l=2$

ii) A distância do baricentro G até algum dos vértices mede $frac{2}{3}$ da altura do triângulo:

$d=frac{2}{3}cdot frac{sqrt{3}l}{2}$

$d= frac{sqrt{3}l}{3}=frac{2sqrt{3}}3{}$

$d^2=(n-0)^2+(0-frac{sqrt{3}}{3})^2$

$d^2=n^2+frac{1}{3}$

$d^2=n^2+frac{1}{3}=left ( frac{2sqrt{3} }{3} ight )^2$

$n^2+frac{1}{3}=frac{4}{3}$

$n=1$ → $Bequiv (1,0)$

iii) A distância de A até a origem é a altura do triângulo:

$m=frac{sqrt{3}l}{2}=sqrt{3}$ → $Aequiv (0,sqrt{3})$

Primeira afirmação) Reta suporte r contém A e B:

$ax+b=y$

$left{egin{matrix} b=sqrt{3}\ a+b=0 end{matrix} ight.$

$a=-sqrt{3}$ → $y=-sqrt{3}x+sqrt{3}$

• b é o dobro do oposto do coeficiente angular de r: $b=2sqrt{3}$ .

• ponto (-1, b) é $(-1,2sqrt{3})$ :

$y=-sqrt{3}x+sqrt{3}$

$2sqrt{3}=-sqrt{3}cdot (-1)+sqrt{3}$

$(0,0)$ → a reta passa pelo ponto (V)

Segunda afirmação) A circunferência $lambda_2$ tem G como centro e a medida d como raio:

$(x-0)^2+(y-frac{sqrt{3}}{3})^2=d^2=frac{4}{3}$

$x^2+(y-frac{sqrt{3}}{3})^2=frac{4}{3}$

• o ponto $left(-frac{1}{2},sqrt{3} ight )$ está em $lambda_2$ ?

$left ( -frac{1}{2} ight )^2+(sqrt{3}-frac{sqrt{3}}{3})^2=frac{4}{3}$

$frac{1}{4}+left ( frac{2sqrt{3}}{3} ight )^2=frac{4}{3}$

$frac{1}{4}+frac{4}{3}=frac{4}{3}$

$frac{1}{4}=0$ → a circunferência não passa pelo ponto (F)

Terceira afirmação) A circunferência $lambda_1$ tem G como centro e a distância de G à origem como o raio.

$(x-0)^2+(y-frac{sqrt{3}}3{})^2=left ( frac{sqrt{3}}{3} ight )^2$

$x^2+(y-frac{sqrt{3}}3{})^2=frac{1}{3}$

• a bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta $x=-y$ .

• o ponto de abcissa $frac{sqrt{3}}{3}$ que pertence à reta $x=-y$ é $left (frac{sqrt{3}}{3},- frac{sqrt{3}}{3} ight)$ .

• o ponto $left (frac{sqrt{3}}{3},- frac{sqrt{3}}{3} ight)$ está em $lambda_1$ ?

$x^2+(y-frac{sqrt{3}}3{})^2=frac{1}{3}$

$left ( frac{sqrt{3}}{3} ight )^2-left (frac{sqrt{3}}{3}-frac{sqrt{3}}{3} ight )^2=frac{1}{3}$

$frac{1}{3}+0=frac{1}{3}$ → a circunferência passa pelo ponto (V)

(V) (F) (V)

Alternativa correta é Letra A.

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