Questão 67098

AFA 2015

Matemática

(EPCAR - 2015) Analise cada afirmativa abaixo e classifique-a em (V) verdadeira ou (F) falsa.

( ) Se x, y e z são números reais distintos entre si, o valor de $frac{1}{(x-y)(x-z)}+frac{1}{(y-x)(y-z)}+frac{1}{(z-x)(z-y)}$ é zero.

( ) Se $pinmathbb{R}^* , qinmathbb{R}^*$ e $p eq q$ , então, ao simplificar $left [ frac{p^2+pq}{p^2-q^2}cdot left ( frac{1}{q}-frac{1}{p} ight ) ight ]^{-1}$ , obtém-se q.

( ) Se $x in mathbb{R}^*_+$ , $yinmathbb{R}^*_-$ , então $frac{x^7y^5}{z^{30}}<0$ .

V-V-V

V-F-V

F-F-V

V-V-F

Gabarito:

V-V-V

Resolução:

I) $frac{1}{(x-y)(x-z)}+frac{1}{(y-x)(y-z)}+frac{1}{(z-x)(z-y)}=$

$frac{(y-x)(y-z)(z-x)(z-y)+(x-y)(x-z)(z-x)(z-y)+(x-y)(x-z)(y-x)(y-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)(y-x)(z-x)(z-y)}=$

$frac{(-1)(-1)(x-y)(y-z)(x-z)(z-y)+(x-y)(x-z)(z-x)(z-y)+(x-y)(x-z)(y-x)(y-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)(y-x)(z-x)(z-y)}=$ (vamos cortar $(x-y)(x-z)$ do numerador e do denominador)

$frac{(y-z)(z-y)+(z-x)(z-y)+(y-x)(y-z)}{(y-z)(y-x)(z-x)(z-y)}=$

$frac{(y-z)(z-y)-(z-x)(y-z)+(y-x)(y-z)}{(y-z)(y-x)(z-x)(z-y)}=$ (vamos cortar $(y-z)$ do numerador e do denominador)

$frac{(z-y)-(z-x)+(y-x)}{(y-x)(z-x)(z-y)}=$

$frac{z-y-z+x+y-x}{(y-x)(z-x)(z-y)}=0$ (verdadeiro)

II) $[frac{p^2+pq}{p^2-q^2}cdot (frac{1}{q}-frac{1}{p})]^{-1}$

$[frac{p^2+pq}{(p-q)(p+q)}cdot (frac{(p-q)}{pq})]^{-1}$ , como $p eq q$ :

$[frac{p(p+q)}{(p+q)}cdot (frac{1}{pq})]^{-1}$

$[frac{p}{1}cdot (frac{1}{pq})]^{-1}$

$[(frac{1}{q})]^{-1}=q$ (verdadeira)

III) $frac{x^7y^5}{x^{30}}$

→ $x> 0$ , logo: $x^7> 0$

→ $y< 0$ , logo: $y^5< 0$

→30 é par, logo: $z^{30}>0$ , não importando o sinal de z.

$frac{x^7y^5}{x^{30}}$ $ightarrow frac{(+)(-)}{(+)} <0$ (verdadeira)

Todas são verdadeiras. Alternativa correta é Letra A.

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