Questão 23

AFA 2016

Matemática

(AFA - 2016)

Seja A a matriz $egin{bmatrix} 0 &frac{1}{2} \ 2 &0 end{bmatrix}$ .

Sabe-se que $A^n=Acdot Acdot Acdot Acdot ...cdot A$ n vezes.

Então, o determinante da matriz $S=A+A^2+A^3+...+A^{11}$ é igual a

-31

-875

-11

Gabarito:

-11

Resolução:

Façamos $A^2$ :

$A^2=egin{bmatrix} 0 &frac{1}{2} \ 2 &0 end{bmatrix}cdot egin{bmatrix} 0 &frac{1}{2} \ 2 &0 end{bmatrix}=egin{bmatrix} 1 &0\ 0 &1 end{bmatrix}=I$

Lembrando que qualquer matriz multiplicada por $I$ fornece como resultado a própria matriz, então podemos escrever:

$A^2=A^4=A^6=A^8=A^{10}=I$ e $A=A^3=A^5=A^7=A^9=A^{11}$ .

Daí, como $S=A+A^2+A^3+...+A^{11}$ , então

$S=A+A^3+A^5+A^7+A^9+A^{11},,,,+,,,,A^2+A^4+A^6+A^8+A^{10}Rightarrow$

$Rightarrow S = 6cdot A,,,,+,,,,5cdot I=egin{bmatrix} 5 &3 \ 12 &5 end{bmatrix}Rightarrow left|S ight|=5cdot5-3cdot12=25-36=-11$

A alternativa correta é a Letra D.

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