Questão 20
AFA 2016
(AFA - 2016)
Considere os polinômios Q(x) = x2 – 2x + 1 e P(x) = x3 – 3x2 – ax +b, sendo a e b números reais tais que a2 – b2 = –8.
Se os gráficos de Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então é INCORRETO afirmar sobre as raízes de P(x) que
podem formar uma progressão aritmética.
são todas números naturais.
duas são os números a e b
duas são números simétricos.
Gabarito:
são todas números naturais.
Resolução:
Se Q(x) e P(x) têm um ponto comum que pertence ao eixo das abscissas, então ao menos uma raiz de Q(x) é também raiz de P(x). Calculando
Substituindo essa raiz em P(x) tem-se que:
Substituindo o valor de b na equação dada a2 - b2 = -8, tem-se que:
.
Substituindo o valor de a na equação dada obtêm-se:
.
Assim, P(x) = x3 - 3x2 -x + 3. Pode-se perceber daí que, se 1 é raiz da equação, -1 também será raiz. Assim sendo, o conjunto de raízes de P(x) é {-1,1,3}.
Analisando então as afirmativas da questão, temos:
[A] Correto (podem formar uma P.A. de razão 2).
[B] Incorreto (números negativos não são números naturais).
[C] Correto.
[D] Correto.
A alternativa correta é a Letra B.