Questão 28

AFA 2016

Matemática

(AFA - 2016)

Considere as funções reais f, g e h tais que

$f(x)=mx^{2}-(m+2)x+(m+2)$

$g(x)= frac{1}{x}$

$h(x)=sqrt{x}$

Para que a função composta h o g o f (x) tenha domínio $D=mathbb{R}$ , deve-se ter

$m>frac{2}{3}$

$-2<m<frac{2}{3}$

$0<m<frac{2}{3}$

−2 < m < 0

Gabarito:

$m>frac{2}{3}$

Resolução:

É possível escrever:

$h o g o f (x) =hleft(gleft(fleft(x ight ) ight ) ight )=hleft(gleft( mx^2-left(m+2 ight )x+left(m+2 ight ) ight ) ight )Rightarrow$

$Rightarrow h o g o f (x) =hleft(frac{1}{ mx^2-left(m+2 ight )x+left(m+2 ight )} ight )=sqrt{frac{1}{ mx^2-left(m+2 ight )x+left(m+2 ight )}}$

Para que a condição exposta no enunciado seja satisfeita, então:

$mx^2-left(m+2 ight )x+left(m+2 ight )>0$ . Para que isto aconteça, a função $mx^2-left(m+2 ight )x+left(m+2 ight )$ deve possuir $Delta$ de Bháskara menor que zero, pois assim, considerando valores de $m>0$ , a condição $mx^2-left(m+2 ight )x+left(m+2 ight )>0$ seria sempre satisfeita. Então,

Por Bháskara:

$Delta=m^2+4m+4-4m^2-8m=-3m^2-4m+4$

Daí, é fácil ver que $-3m^2-4m+4<0Rightarrow$

$Rightarrow m<frac{4+sqrt{16+16cdot3}}{-6}$ e $Rightarrow m> frac{4-sqrt{16+16cdot3}}{-6}$

$Rightarrow m<-2$ e $Rightarrow m>frac{2}{3}$ .

Logo, a alternativa correta é a Letra A.

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