Questão 62960

AFA 2016

Matemática

(EPCAR - 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, conforme figura abaixo.

Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC $6sqrt{3}$ km, então CP é, em km, igual a

$6+sqrt{3}$

$6(3-sqrt{3})$

$9sqrt{3-sqrt{2}}$

$9(2sqrt{2-1})$

Gabarito:

$6(3-sqrt{3})$

Resolução:

O triângulo ABC é retângulo, logo, podemos encontrar as medidas de AB e AC por trigonometria.

$tg(30)=frac{AB}{BC}$

$frac{sqrt{3}}{3}=frac{AB}{BC}$

$frac{sqrt{3}}{3}=frac{AB}{6sqrt{3}}$

$AB=frac{6sqrt{3}^2}{3}$

$AB=frac{6cdot 3}{3}$

$AB=6$

$sen(30)=frac{AB}{AC}$

$frac{1}{2}=frac{AB}{AC}$

$frac{1}{2}=frac{6}{AC}$

$AC= 6cdot 2 = 12$

Assim, podemos chamar CP de $x$ , e AP será $12-x$ .

Pelo teorema da bissetriz interna:

$frac{BC}{CP}=frac{AB}{AP}$

$frac{6sqrt{3}}{x}=frac{6}{12-x}$

$6sqrt{3}(12-x)=6x$

$72sqrt{3}-6sqrt{3}x=6x$

$72sqrt{3}=6x+6sqrt{3}x$

$72sqrt{3}=6x(1+sqrt{3})$

$x=frac{72sqrt{3}}{6(1+sqrt{3})}=frac{12sqrt{3}}{1+sqrt{3}}$

Racionalizando:

$x=frac{12sqrt{3}(1-sqrt{3})}{(1+sqrt{3})(1-sqrt{3})}$

$x=frac{12sqrt{3} - 36}{-2}$

$x=18-6sqrt{3}$

$x=6(3-sqrt{3})$

Alternativa B.

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