Questão 63318

AFA 2016

Matemática

(EPCAR - 2016) Na figura abaixo A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 1 metro e centro O.

Se ACE e BDF são triângulos equiláteros, então, a área da parte sombreada nesta figura em $m^2$ , é igual a

$sqrt{3}-frac{pi}{3}$

$frac{sqrt{3}}{2}-pi$

$frac{sqrt{3}-pi}{3}$

$sqrt{3}-pi$

Gabarito:

$sqrt{3}-frac{pi}{3}$

Resolução:

Podemos fazer algumas alterações no desenho para que encontremos a área sombreada:

A área sombreada vai ser igual a área do hexágono vermelho, menos as áreas em verde.

Sendo então:

$A_S=A_H-A_{CI}-A_T$

Temos que o lado do hexágono vai ser igual ao raio da circunferência que o circunscrita, temos então que o lado será igual a 1. Calculando a área dele:

$A_H=frac{6L^2sqrt3}{4} ightarrow frac{6sqrt3}{4} ightarrow frac{3sqrt3}{2}$

Agora, vamos calcular a área do círculo interno, mas para isso, precisamos de seu raio, então vamos calculá-lo:

O raio será igual a tangente de 30°, sendo assim:

$r=frac{sqrt3}{3}$

Sendo asim, a área do círculo interno será:

$A_{CI}=picdot r^2 ightarrow picdot frac{3}{9} ightarrow frac{pi}{3}$

Agora precisamos das áreas do triângulos sobressalentes. Vamos calcular o lado c usando a propriedade de que o lado de um triângulo inscrito é igual ao raio multiplicado pela raiz de 3, sendo assim:

$c=Rsqrt3 ightarrow c=sqrt3$

O lado c pode ser dividido nos três triâgulos, sendo assim, o lado dos triângulos a mais é:

$frac{sqrt3}{3}$

Podemos calcular a área de um deles então:

$A_T=frac{1}{2}cdot acdot bcdot sen( heta) ightarrow frac{1}{2}cdotfrac{sqrt3}{3}cdotfrac{sqrt3}{3}cdot sen(120^circ)=frac{sqrt3}{12}$

Como são 6 triângulos:

$A_T=6cdot frac{sqrt3}{12}=frac{sqrt3}{2}$

Fazendo o cálculo final:

$A_S=frac{3sqrt3}{2}-frac{pi}{3}-frac{sqrt3}{2} ightarrow sqrt3-frac{pi}{3} m^2$

Letra A

Obs: Podíamos ter nos poupado desse trabalho somente olhando as alternativas, a única que resulta em um número positivo, é a letra A

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