Questão 24

AFA 2016

Matemática

(AFA - 2016)

Considere os pontos A(4 , -2), B(2 , 0) e todos os pontos P(x , y), sendo x e y números reais, tais que os segmentos PA e PB são catetos de um mesmo triângulo retângulo. É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos P(x , y) são tais que

são equidistantes de C(2 , -1)

o maior valor de x é

o menor valor de y é -3

x pode ser nulo.

Gabarito:

o maior valor de x é

Resolução:

A) são equidistantes de C(2 , -1) -> FALSO

Como PA e PB são catetos de um triângulo retângulo em que AB é a hipotenusa, podemos usar Pitágoras:

$(sqrt{(x-4)^2 + (y+2)^2})^2 + (sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2})^2 = (sqrt{(4-2)^2 + (-2-0)^2})^2$

$x^2 - 6x + 8 +y^2 + 2y = 0$

$left(x-3 ight)^2+left(y-left(-1 ight) ight)^2=left(sqrt{2} ight)^2$

São equidistantes do ponto (3,-1) , centro da circunferência.

B) o maior valor de x é -> VERDADEIRO

$O menor valor de (y+1)^2 deve ser 0, logo$

$(x-3)^2 leq 2$

$3-sqrt{2} leq x leq 3 + sqrt{2}$

C) o menor valor de y é -3 -> FALSO

$O menor valor de left(x-3 ight)^2 deve ser 0, logo$

$(y+1)^2 leq 2$

$-1-sqrt{2} leq y leq sqrt{2}-1$

D) x pode ser nulo. -> FALSO

Caso x seja 0:

$x^2 - 6x + 8 +y^2 + 2y = 0$

$y^2 + 2y +8 = 0$

$y=-1pm sqrt{7}i$

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