Questão 18

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Seja a equação trigonométrica $tg^3x - 2tg^2x - tgx +2 =0$ , com $x epsilon ([0,2pi-[ {frac {pi}{2}, frac {3pi}{2}})$ .

Sobre a quantidade de elementos distintos do conjunto solução dessa equação, é correto afirmar que são, exatamente,

três.

quatro.

cinco.

seis.

Gabarito:

seis.

Resolução:

É possível ver que a equação torna-se mais simples de solucionar se alterarmos a variável $tgleft(x ight )$ em uma nova variável qualquer, digamos $lambda$ , ou seja, $tgleft(x ight )=lambda$ .

Logo, a equação fica:

$lambda^3-2lambda^2-lambda+2=0$ .

Como a equação é de terceiro grau, é interessante encontrarmos alguma raiz simples (números pequenos e fáceis) dessa equação para que possamos aplicar Briot-Ruffini e transformá-la em uma equação de segundo grau (mais fácil de resolver). É possível observar que se substituírmos $lambda$ por 1 a equação se torna nula, logo, $lambda=1$ é uma raz da equação.

Aplicando Briot-Ruffini:

	1	-2	-1	2
1	1	-1	-2	0

Como podemos observar, o aplicativo acima nos deixou resto zero (à direita, em negrito e itálico), então, a equação acima pode ser reescrita como:

$lambda^3-2lambda^2-lambda+2=left(lambda-1 ight )cdotleft(lambda^2-lambda-2 ight )=0$

Só precisamos agora encontrar as raízes da equação de segundo grau $lambda^2-lambda-2=0$ para encontrarmos todas as raízes.

Por Bháskara é possível ver que:

$lambda = 2$ ou $lambda = -1$ .

Desta forma, as raízes são: $lambda=1$ , $lambda = 2$ e $lambda = -1$ . Retornando à variável original do problema:

$tgleft(x ight )=1$ , $tgleft(x ight ) = 2$ e $tgleft(x ight ) = -1$ .

Para $tgleft(x ight )=1$ e $tgleft(x ight ) = -1$ é fácil ver que a solução tradicional é para 45º e -45º. Aplicando o conceito de raízes trigonométricas (função circular), então, para estas duas raízes temos:

Para $tgleft(x ight )=1$ : $x=frac{pi}{4}$ ou $x=frac{5pi}{4}$ e para $tgleft(x ight ) = -1$ : $x=frac{3pi}{4}$ e $x=frac{7pi}{4}$ .

Para $tgleft(x ight ) = 2$ é fácil ver que $x=arctgleft(2 ight )$ . Porém, lembre-se que tangente é uma função circular, logo, há dois valores para $x$ entre 0 e 360º em que $tgleft(x ight ) = 2$ , logo, a solução $x=arctgleft(2 ight )$ é para dois arcos distintos, um entre 0 e 90º e outro entre 180º e 270º.

Portanto, há seis soluções para esta equação e isto implica que a alternativa correta é a Letra D.

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