Questão 22

AFA 2020

Matemática

(AFA - 2020)

Numa aula de Biologia da turma Delta do Colégio LOS, os alunos observam o crescimento de urna cultura de bactérias. Inicialmente tem-se uma amostra com 3 bactérias. Após várias observações, eles concluíram que o número de bactérias dobra a cada meia hora.

Os alunos associaram as observações realizadas a uma fórmula matemática, que representa o número f de bactérias da amostra, em função de n horas.

A partir da fórmula matemática obtida na análise desses alunos durante a aula de Biologia, o professor de matemática da turma Delta propôs que eles resolvessem a questão abaixo, com n $in$ N

Se g(n)= $log_{2}[f(n)]$ , log2 = 0,30 e log3 = 0,48 , então $sum_{n=1}^{100} g(n)$ é um número cuja soma dos algarismos é

Gabarito:

Resolução:

Note que, como a população de bactérias dobra a cada meia hora e n representa o número de horas, a cada hora a quantidade de bactérias na amostra quadruplica. Sendo assim, f pode ser expresso como:

$f(n)=3cdot 4^{n}$

Assim, $g(n)=log_{2}(f(n)) = log_{2}(3) + 2cdot n$ , pelas propriedades de logaritmos.

Empregando mudança de base e usando os dados fornecidos,

$log_{2}(3) = frac{log 3}{log 2} = frac{0,48}{0,3}=1,6$

Calculando o somatório, usando suas propriedades, temos:

$sum_{n=1}^{100} g(n) = sum_{n=1}^{100} (log_{2}(3)+2cdot n) = sum_{n=1}^{100} (1,6) + 2 cdot sum_{n=1}^{100} n$

que, pela soma de Gauss, vale:

$160 + left.egin{matrix} frac{n(n+1)}{2} end{matrix} ight| _{n=100} = 160 + frac{100cdot 101}{2} = 10260$

cuja soma dos algarismos vale 9.

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