Questão 29
AFA 2020
(AFA - 2020)
Sejam as funções reais f, g e h tais que:
- f é função quadrática, cujas raízes são 0 e 4 e cujo gráfico tangencia o gráfico de g;
- g é tal que g(x)=m, com m>0, em que m é raiz da equação
;
- h é função afim, cuja taxa de variação é 1 e cujo gráfico intercepta o gráfico de f na maior das raízes de f;
Considere os gráficos dessas funções num mesmo plano. Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) verdadeira ou (F) falsa.
( I) A função real k definida por é não negativa se, e somente se
(II ) se, e somente se
(III ) A equação h(x)-f(x)=0 possui duas raízes positivas.
Sobre as proposições, tem-se que
todas são verdadeiras
apenas I é verdadeira
apenas II é verdadeira
nenhuma delas é verdadeira
Duas das afirmações ou mais são verdadeiras
Gabarito:
nenhuma delas é verdadeira
Resolução:
Essa questão foi adaptada para o Simulado ITA, (alternativa "e" adicionada)
Vamos começar o problema determinando a função g(x):
como m>0 => m=5.
Agora podemos determinar f:
onde o parâmetro A deve ser tal que o y de seu vértice seja 5, o x do vértice é dado pela média das raízes, logo
A função h é da forma:
mas como sua raiz também é a maior raiz de f:
olhando para seus gráficos:
o sinal de f e h concorda no intervalo .
Porém, repare que para x = 4, k(x = 4) também é não negativo, pois k(4) = 0, logo este item é falso.
A segunda afirmação diz que a desigualdade vale se, e somente se , mas para x=2 ela também é válida, portanto a segunda alternativa é falsa.
h(x)-f(x)=0 => (x-4)(-1-5x/4)=0 possui raíz -4/5 que é negativa, portanto a terceira afirmação é falsa.