Questão 26

AFA 2020

Matemática

(AFA - 2020)

Considere:

• a matriz $A = egin{bmatrix} x+1 & 1 & -1\ 0 & 1 & 0\ x+2 & 1 & x+1 end{bmatrix}$ cujo determinante é det A = M;

• a matriz $B = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}$ cujo determinante é det B = N; e

• $T = 3-x$

Seja f uma função real definida por $f(x) = log_{T} M + log_{T} N$ . Sobre o domínio de f, é correto afirmar que

é o conjunto dos números reais.

possui apenas elementos negativos.

não tem o número 2 como elemento.

possui três elementos que são números naturais.

Gabarito:

não tem o número 2 como elemento.

Resolução:

$M = det(A) = egin{vmatrix} x+1 & 1 & -1\ 0 & 1 & 0\ x+2 & 1 & x+1 end{vmatrix}$ . Como o sinal do cofator de $a_{22}$ é positivo, $M = 1cdot egin{vmatrix} x+1 & -1\ x+2 & x+1 end{vmatrix} = (x+1)^{2} + (x+2) = x^{2} + 2x + 1 + x + 2 = x^{2} + 3x + 3$ . Como $Delta = 3^{2} -4cdot 3 cdot 1 = -3 < 0$ , então $M > 0, forall x in mathbb{R}$ .

$N = det(B) = egin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 end{vmatrix} = (-1)^{(1+1)} cdot egin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\ 0 & 0 & -1 & 0\ 0 & 1 & 0 & 0\ -1 & 0 & 0 & 0 end{vmatrix} =$

$(-1)^{(1+1)} cdot (-1)^{(1+4)} cdot egin{vmatrix} 0 & 0 & -1\ 0 & 1 & 0\ -1 & 0 & 0 end{vmatrix}$

$= (-1)^{(1+1)} cdot (-1)^{(1+4)} cdot (-1)^{(1+3)}cdot(-1) cdot egin{vmatrix} 0 & 1\ -1 & 0 end{vmatrix}$

$=1cdot(-1)cdot 1 cdot (-1) cdot 1 = 1 > 0, forall x > 0$

Com isso, a função $f(x) = log_{T} M + log_{T} N$ fica definida para:

$T > 0$ e $T eq 1$ $Rightarrow 3-x > 0 Rightarrow x <3$

$Rightarrow 3-x eq 1 Rightarrow x eq 2$

Ou seja, o domínio de $f$ não possui o 2 como seu elemento certamente.

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