Questão 31

AFA 2020

Matemática

(AFA - 2020)

Em uma roda gigante, a altura h, em metros, em que uma pessoa se encontra, em relação ao solo, no instante, t, em segundo, é dada pela função $h:mathbb{R} ightarrowmathbb{R}$ , definida por

$h(t)=a+Bsin(Ct)$

, em que A, B e C são são constantes reais.

A figura a seguir ilustra o gráfico dessa função, no intervalo [0,150]

(figura)

Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) verdadeira ou (F) Falsa

( ) $|Acdot Bcdot C|=pi$

( ) No instante t=20s, a pessoa estará a uma altura h tal que $hin[17,5;17,8]$

( ) A função real f definida por $f(t)=10-9cosleft(frac{3pi}{2}-frac{pi}{60}t ight )$ é idêntica à função h

Sobre as proposições, tem-se que

todas são verdadeiras

apenas duas são verdadeiras

apenas uma é verdadeira

nenhuma delas é verdadeira

Gabarito:

apenas duas são verdadeiras

Resolução:

A diferença entre o maior e o menor valor que f assume será duas vezes o valor de B:

$2B=19-1=18Rightarrow B=9$

para t=0, sen(Ct)=0, portanto

$h(0)=A=10$

e como o período da função é 120,

$C=frac{2pi}{120}=frac{pi}{60}$

$|Acdot Bcdot C|=frac{3}{2}pi$ , portanto a primeira afirmação é falsa.

Em t=20s

$h(20)=10+9sinleft(frac{20pi}{60} ight )=10+9sinfrac{pi}{3}=10+9frac{sqrt{3}}{2}$

$17,5<10+9frac{sqrt{3}}{2}<17,8\\Rightarrow 7,5<9frac{sqrt{3}}{2}<7,8\\Rightarrow 1,66...<sqrt{3}<1,733...$

sabendo que $sqrt{3}approx1,7320...$ , a segunda afirmação é verdadeira.

Usando as identidade trigonométrica:

$cos(alpha-eta)=cos(alpha)cos(eta)+sin(alpha)sin(eta)$

$cosleft(frac{3pi}{2}-frac{pi}{60}t ight)=cosleft(frac{3pi}{2} ight)cosleft(frac{pi}{60}t ight )+sinleft(frac{3pi}{2} ight )sinleft(frac{pi}{60}t ight )$

lembrando que $cosleft(frac{3pi}{2} ight)=0$ e que $sinleft(frac{3pi}{2} ight)=-1$

$egin{matrix} f(t)=&;10-9sinleft(frac{3pi}{2}-frac{pi}{60}t ight )\ =&;10-9left(cosleft(frac{3pi}{2} ight)cosleft(frac{pi}{60}t ight )+sinleft(frac{3pi}{2} ight )sinleft(frac{pi}{60}t ight ) ight )\ =&;10-9left(-sinleft(frac{pi}{60}t ight ) ight )\ =&;10+9sinleft(frac{pi}{60}t ight ) end{matrix}$

então a terceira afirmação é verdadeira.

Única alternativa de acordo é a letra b.

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