Questão 69775

AFA 2020

Matemática

(EPCAR 2020) Considere as expressões $P$ e $Q$ , com os números $a$ , $b$ e $c$ reais positivos e distintos entre si.

$P=frac{(a^6+b^6+c^6)^2-(a^6-b^6-c^6)^2}{b^6+c^6}$

$Q=frac{(b^{-1}-a^{-1})^{-1}-(b^{-1}+a^{-1})^{-1}}{(b^{-1}+a^{-1})^{-1}-(a^{-1}-b^{-1})^{-1}}$

A expressão $sqrt{Qsqrt{P}}$ é representada por

$bsqrt{2a}$

$asqrt{2b}$

$asqrt{frac{b}{2}}$

$frac{1}{a}sqrt{frac{b}{2}}$

Gabarito:

$asqrt{2b}$

Resolução:

Vamos trabalhar com cada uma das expressões, trabalhando primeiro com P, temos:

$P=frac{(a^6+b^6+c^6)^2-(a^6-b^6-c^6)^2}{b^6+c^6}$

Chamando $(a^6+b^6+c^6) = A$ e $(a^6-b^6-c^6) = B$ , temos:

$P = frac{(A)^2-(B)^2}{b^6+c^6} = frac{(A+B)(A-B)}{b^6+c^6}$

Calculando os termo, temos:

$A+B = a^6+b^6+c^6+(a^6-b^6-c^6) = 2a^6$

$A-B = a^6+b^6+c^6-(a^6-b^6-c^6) = 2b^6 + 2c^6 = 2cdot(b^6+c^6)$

Substituindo, teremos:

$P =frac{(A+B)(A-B)}{b^6+c^6} = frac{4a^6(b^6+c^6)}{b^6+c^6} = 4a^6$

Agora vamos encontrar o valor da expressão Q:

$Q=frac{(b^{-1}-a^{-1})^{-1}-(b^{-1}+a^{-1})^{-1}}{(b^{-1}+a^{-1})^{-1}-(a^{-1}-b^{-1})^{-1}} = frac{left ( frac{1}{b}-frac{1}{a} ight )^{-1} - left ( frac{1}{b}+frac{1}{a} ight )^{-1}}{left ( frac{1}{a}+frac{1}{b} ight )^{-1} - left ( frac{1}{a}-frac{1}{b} ight )^{-1}} =$

$= dfrac{left (frac{a-b}{ab} ight )^{-1} - left (frac{a+b}{ab} ight )^{-1}}{left (frac{b+a}{ab} ight )^{-1}- left (frac{b-a}{ab} ight )^{-1}} = dfrac{left (frac{ab}{a-b} ight ) - left (frac{ab}{a+b} ight )}{left (frac{ab}{b+a} ight )- left (frac{ab}{b-a} ight )} = dfrac{frac{ab(a+b)-ab(a-b)}{(a-b)(a+b)}}{frac{ab(b-a)-ab(b+a)}{(b+a)(b-a)}} =$

$= dfrac{frac{ab[a+b-(a-b)]}{(a-b)(a+b)}}{frac{ab[b-a-(b+a)]}{(b+a)(b-a)}} = dfrac{frac{2ab^2}{(a-b)(a+b)}}{frac{-2a^2b}{(b+a)(b-a)}} = frac{2ab^2}{(a-b)(a+b)} cdot frac{(b+a)(b-a)}{-2a^2b} =$

$= frac{b(b-a)}{(a-b)cdot(-a)} = frac{b}{a} = Q$

Substituindo na expressão pedida, temos:

$sqrt{Qsqrt{P}} = sqrt{frac{b}{a}cdotsqrt{4a^6}} = sqrt{frac{b}{a}cdot2a^3} =$

$= sqrt{2a^2b} = asqrt{2b}$

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

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