Questão 71509

AFA 2020

Matemática

(AFA - 2018 Adaptada)

Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360º do triângulo $ABC$ em torno da reta que passa por $C$ e é paralela ao lado $overline{AB}$ .

Sabe-se que este triângulo é isósceles, com $overline{AC} = overline{BC} = Rsqrt2 m, overline{AB} = 2R m$ (sendo $R$ uma constante real positiva), e que o volume do sólido obtido é $V = 4pisqrt3 m^3$ .

A medida de $R$ , em metros, é igual a

$sqrt[6]{3}$

$sqrt[3]{3}$

$sqrt[3]{9}$

$sqrt{3}$

$sqrt{6}$

Gabarito:

$sqrt{3}$

Resolução:

O triângulo ABC é retângulo isósceles. Logo, como a mediana relativa ao lado AB mede R, segue que a medida do segmento CG, com G sendo o baricentro de ABC, é igual a (2R)/3.

Ademais a área do triângulo ABC é dada por

$S_{ABC} = left(frac{1}{2} ight )cdotleft(AC ight )cdotleft(BC ight )=frac{1}{2}cdot Rsqrt{2}cdot Rsqrt{2} = R^2$

Portanto, pelo Segundo Teorema de Pappus-Guldin, tem-se que o volume, V, do sólido gerado é

$V=2cdotpicdot CGcdot S_{ABC}Rightarrow V = frac{4pi R^3}{3}$

Em consequência, vem

$frac{4pi R^3}{3}=4pisqrt{3}Leftrightarrow R^3=3sqrt{3}Rightarrow R = sqrt{3}$ .

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