Questão 29

AFA 2021

Física

(AFA - 2021)

A figura abaixo ilustra dois resistores de imersão dentro de recipientes termicamente isolados e com capacidades térmicas desprezíveis, contendo as mesmas quantidades de água. Os resistores R₁ e R₂ estão ligados, respectivamente, a uma associação de geradores em série e em paralelo.

Os valores das resistências elétricas de R₁ e R₂ foram ajustados adequadamente de tal forma que cada associação de geradores transfere a máxima potência a cada um dos resistores.

Despreze a influência da temperatura na resistência elétrica e no calor específico da água e considere que todos os geradores apresentem a mesma fem e a mesma resistência interna.

Fecha-se simultaneamente as chaves Ch₁ e Ch₂ e, após 5 min, verifica-se que a variação de temperatura da água no recipiente 1 foi de 20 ºC. Nesse mesmo intervalo, a água no recipiente 2 apresenta uma variação de temperatura, em ºC, igual a:

Gabarito:

Resolução:

O tempo que vai levar a variação de temperatura, vai depender da quantidade de calor (Q) fornecida, esta quantidade de calor é igual a:

$Q=PDelta t$

sendo P a potência do resistor e $Delta t$ o intervalo de tempo.

Sabemos que a quantidade de calor também pode ser calculada como:

$Q=mcDelta T$

onde m é a massa, c é o calor específico e $Delta T$ é a variação de temperatura.

Igualando as duas equações:

$mcDelta T=PDelta t$

Para que possamos saber se a variação de temperatura é maior ou menor, é preciso saber a potência que cada um dos resistores irá dissipar.

Temos duas situações: a situação 1, temos uma associação de geradores em série; a situação 2, temos uma associação de geradores em paralelo.

PARA A ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE:

A potência dissipada pelo resistor $R_{1}$ é igual a potência total do circuito, menos a potência do resistor interno.

$P_{R1} = P_{total} - P_{r}$

Como é uma associação em série, somamos os dois geradores e os dois resistores internos, logo:

$P_{R1} =2varepsilon i- 2ri^{2}$

Como temos uma função de segundo grau em função de i, reorganizando:

$- 2ri^{2} + 2varepsilon i- P_{R1} = 0$

Então temos os coeficientes: $a = - 2ri^{2}$ , $b = 2varepsilon i$ e $c = - P_{R1}$

Vamos encontrar o valor da corrente máxima, que em um gráfico de uma função de segundo grau é justamente o vértice. Para calcular o vértice de uma parábola, é utilizada a seguinte fórmula:

$i_{max}=frac{-b}{2a}$ , fórmula do vértice de uma equação do segundo grau.

$i_{max}=frac{-2varepsilon }{2(- 2r)} = frac{-2varepsilon }{-4r} = frac{varepsilon }{2r}$

Aplicando o $i_{max}$ na fórmula da potência dissipada pelo resistor, substituindo o i:

$P_{R1} =2varepsilon i- 2ri^{2}$

$P_{R1} =2varepsilon (frac{varepsilon }{2r})- 2r(frac{varepsilon }{2r})^{2}$

$P_{R1} =frac{2varepsilon^{2} }{2r}- frac{2rvarepsilon^{2} }{4r^{2}} = frac{varepsilon^{2} }{r}- frac{varepsilon^{2} }{2r}$

$P_{R1} =frac{varepsilon^{2} }{r}$ , potência dissipada pelo resistor $R_{1}$ .

PARA A ASSOCIAÇÃO EM PARALELO:

Neste caso, cada gerador elétrico gera uma corrente, se as resistências internas são iguais e as fontes produzem as mesmas diferença de potencial, as duas correntes elétricas são iguais, vamos chamar elas de $i_{p}$ .

$P_{R2} = P_{total} - P{r}$

$P_{R2} = 2varepsilon i_{p} - 2ri_{p}^{2}$

Como é semelhante com a potência dissipada em $R_{1}$ , o processo é o mesmo, logo:

$P_{R2} = frac{varepsilon ^{2}}{2r}$

Como temos a mesma potência máxima dissipada nas duas situações, significa que a variação de temperatura nas duas situações será a mesma, ou seja, se no recipiente 1 a variação de temperatura foi de 20°C, no recipiente 2 a variação de temperatura também será de 20°C.

ALTERNATIVA D.

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