Questão 61

AFA 2022

Matemática

(AFA - 2022 - Modelo A - Questão 61)

Considera, no plano cartesiano, a circunferência $lambda : mx^{2}+4y^{2}+nxy-16x+3k-1=0,$ em que m, n e k são números reais.

Sabe-se que a circunferência $lambda$ tangencia a reta de equação $3x-4y-16=0$

Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.

( ) O ponto P(3k, n) é interior a $lambda$

( ) $lambda$ tangencia o eixo das ordenadas.

( ) $lambda$ tem abscissa máxima igual à ordenada máxima.

Tem-se a sequência correta em

F - V - V

F - F - V

V - F - F

V - V - F

Gabarito:

V - V - F

Resolução:

$lambda = mx^{2}+4y^{2}+nxy-16x+3k-1=0$ , m, n e k $epsilon mathbb{R}$

$r: 3x-4y-16=0$

$lambda$ tangente à $r$

Como a circunferência não tem em sua equação o produto xy podemos considerar n=0.
A circunferência tem o parametro de $x^2$ e $y^2$ iguais, portanto, m=4.
$lambda = 4x^{2}+4y^{2}-16x+3k-1=0$
$lambda = x^{2}+y^{2}-4x+frac{3k-1}{4}=0$

Completando quadrado para o termo x:

$lambda = (x-2)^{2}+y^{2}-4x+frac{3k-1}{4}-4=0$

Assim temos uma circunferência de centro C(2,0). Como temos o centro da cincunferência e também temos a equação de uma reta tangente a circunferência, podemos calcular o raio da circunferência pela distância do ponto C a reta r.

$d_{C.r}=frac{left | 3x-4y-16 ight |}{sqrt{3^2+4^2}}=frac{left | 3(2)-4(0)-16 ight |}{sqrt{3^2+4^2}}$

$d_{C.r}=raio=2$

Vamos calcular o valor de termo independente, k:

$a^2+b^2-R^2=frac{3k-1}{4}-4$

$2^2+0^2-2^2=frac{3k-1}{4}-4$

$k=frac{1}{3}$

( ) O ponto P(3k, n) é interior a $lambda$
Verdadeiro. Sendo n=0 e k=1/3, então sim, o ponto é interior a circunferência.

( ) $lambda$ tangencia o eixo das ordenadas.
Verdadeiro. Como a circunferência tem centro C(2,0) e raio R=2, então sim, tangencia a circunferência.

( ) $lambda$ tem abscissa máxima igual à ordenada máxima.
Falso. Absicssa máxima igual a (4,0) e ordenada máxima em (2,0)

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