Questão 64

AFA 2022

Matemática

(AFA - 2022 - Modelo A - Questão 64)

Considere, no Plano de Argand-Gauss, os números complexos $z=x+yi,$ em que x e y são números reais e i a unidade imaginária.

Sobre a igualdade $2z+ar{z}=9+3i,$ é correto afirmar que

$frac{z}{i}=ar{z}$

$|z|=2sqrt{2}$

o argumento de $z$ é $heta = frac{3pi}{4}$

$i.z$ tem afixo no 3º quadrante.

Gabarito:

$frac{z}{i}=ar{z}$

Resolução:

$z=x+yi$

$2z+ar{z}=9+3i$

$2(x+yi)+(x-yi)=9+3i$

$2x+2yi+x-yi=9+3i$

$3x+yi=9+3i$

$3x=9$

$x=3$

$y=3$

$z=3+3i$

a)Correta

$frac{z}{i}=frac{3+3i}{i}.frac{i}{i}=frac{3i-3}{-1}=3-3i=ar{z}$

b)Incorreta

$|z|=sqrt{3^{2}+3^{2}}=sqrt{2.9}=3sqrt{2}$

c)Incorreta

$cos heta=frac{3}{3sqrt{2}},$ como $z=3+3i$ , $heta$ está no primeiro quadrante e $cos heta=frac{x}{|z|}$

$cos heta=frac{sqrt{2}}{2}$

$heta=frac{pi}{4}$

d) $iz=3i-3=-3+3i$

$cos heta<0$

$sen heta>0$

Assim, $iz$ está no 2º quadrante, logo, alternativa incorreta.

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