Questão 71510

AFA 2022

Matemática

(AFA - 2000 Adaptada) Considere um triângulo retângulo de catetos b e c, hipotenusa a e altura relativa à hipotenusa h, h ≠ 1. A alternativa correta é

$log(a)+log(b)+log(c)=log(h)$

$log(a)-log(b)-log(c)=log(h)$

$log_h(b^2-h^2)+log_{h}(c^2-h^2)=4$

$log_h(b^2-h^2)-log_{h}(c^2-h^2)=4$

$log_h(b^2+h^2)-log_{h}(c^2+h^2)=4$

Gabarito:

$log_h(b^2-h^2)+log_{h}(c^2-h^2)=4$

Resolução:

1) Teorema de Pitágoras:

$a^2=b^2+c^2$

2) Pela fórmula da área do triângulo:

$frac{ah}{2}=frac{bc}{2}$

$a=frac{bc}{h}$

3) Juntando as fórmulas:

$egin{pmatrix} frac{bc}{h} end{pmatrix}^2=b^2+c^2$

$b^2c^2=b^2h^2+c^2h^2$

$b^2c^2-b^2h^2-c^2h^2=0$

$b^2c^2-b^2h^2-c^2h^2+h^4=h^4$

$(b^2c^2-b^2h^2)+(-c^2h^2+h^4)=h^4$

$b^2(c^2-h^2)+h^2(-c^2+h^2)=h^4$

$b^2(c^2-h^2)-h^2(c^2-h^2)=h^4$

$(b^2-h^2)(c^2-h^2)=h^4$

$log_h[(b^2-h^2)(c^2-h^2)]=log_h(h^4)$

$log_h(b^2-h^2)+log_h(c^2-h^2)=4$

Alternativa correta é Letra C.

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