Questão 54

AFA 2023

Matemática

(AFA - 2023)

Dadas as matrizes $A = egin{bmatrix} 4 & 1 & 0\ 1 &left | a ight | & -4\ -3& 0 & -4 end{bmatrix}$ e $B = egin{bmatrix} 4 & 1 & -3\ 1 &left | a ight | & 0\ 0& -4 & -4 end{bmatrix}$ , nas quais o elemento da 2ª linha e 2ª coluna é o módulo de a, com $a epsilon mathbb{R}$ , considere as proposições abaixo.

Analise e classifique corretamente cada uma quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.

( ) As matrizes A e B comutam.

( ) A matriz A possui determinante igual a 0 somente se a = 1 ou a = −1

( ) Se A e B são invertíveis, então A^tB^-1 = I, em que A^t é a matriz transposta de A, B^-1 é a matriz inversa de B e I a matriz identidade.

Sobre as proposições, tem-se que

todas são falsas.

todas são verdadeiras.

apenas uma é verdadeira.

apenas duas são verdadeiras.

Gabarito:

apenas duas são verdadeiras.

Resolução:

Analisemos uma afirmativa por vez:

1°) $A$ e $B$ comutar implica $AB = BA$

$AB = igl(egin{smallmatrix} 4 & 1 & 0\ 1 & |a| & 0\ 0 & -4 & -4 end{smallmatrix}igr)cdotigl(egin{smallmatrix} 4 & 1 & 0\ 1 & |a| & -4\ 0 & 0 & -4 end{smallmatrix}igr)$

$AB = igl(egin{smallmatrix} 17 & 4 +|a| & -12\ 4+|a| & 17 + a^2 & 13 \ -12& 13 & 25 end{smallmatrix}igr)$

$BA = igl(egin{smallmatrix} 4 & 1 & 0\ 1 & |a| & -4\ 0 & 0 & -4 end{smallmatrix}igr)cdotigl(egin{smallmatrix} 4 & 1 & 0\ 1 & |a| & 0\ 0 & -4 & -4 end{smallmatrix}igr)$

$BA = igl(egin{smallmatrix} 26 & 4 +|a| & 8\ 4+|a| & 1 + a^2 & -4|a| \ 8& -4|a| & 32 end{smallmatrix}igr)$

Como $AB eq BA$ a afirmação é falsa.

2°) $det(A) = 0 ightarrow |a| = 1$

$det(A) = 0 ightarrow 16(1-|a|) = 0$

$|a| = 1$

Portanto a afirmativa é verdadeira.

3°) $A^tcdot B^{-1} = I$

Note que $B = A^t$ , portanto considerando que é invertível, $B^{-1} = (A^t)^{-1}$ que por definicão é igual a $I$ quando muliplicado por $A^t$

Portanto a afirmativa também é verdadeira.

Logo, a alternativa correta é a LETRA D.

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