Questão 59

AFA 2023

Matemática

(AFA - 2023)

Os ângulos $alpha$ e $eta$ satisfazem a equação $(cos alpha - cos eta)^{2} + (sen alpha + sen eta )^{2}=2$ , com $alpha, eta$ e $(alpha + eta) epsilon [0,2pi ]$ .

Analise e classifique corretamente cada uma das proposições abaixo quanto a ser (V) VERDADEIRA ou (F) FALSA.

( ) $alpha = eta= frac{3pi }{4}$ satisfazem a equação.

( ) A igualdade é verdadeira se $sen (alpha + eta)= 1$ .

( ) A igualdade é verdadeira somente se $alpha = frac{pi }{3}$ e $eta= frac{pi }{6}$ .

Sobre as proposições, tem-se que

todas são falsas.

todas são verdadeiras.

apenas uma é verdadeira.

apenas duas são verdadeiras.

Gabarito:

apenas duas são verdadeiras.

Resolução:

Inicialmente iremso desenvolver a expressão $(cos alpha - cos eta)^{2} + (sen alpha + sen eta )^{2}=2$ , com isso temos que :

$(cos alpha - cos eta)^{2} = cos^2alpha -2cdot cosalphacdot coseta + cos^2eta$

$(sen alpha + sen eta)^{2} = sen^2alpha +2cdot senalphacdot seneta + sen^2eta$

Somando as duas e utilizando a relação fundamenteal, $sen^2 heta +cos^2 heta = 1$ , temos:

$(cos alpha - cos eta)^{2} + (sen alpha + sen eta )^{2}=2 + 2cdot(senalphacdot seneta - cosalphacdot coseta)$

$2 + 2cdot(senalphacdot seneta - cosalphacdot coseta) = 2$

$2cdot(senalphacdot seneta - cosalphacdot coseta) = 0$

$cos( alpha + eta) = 0$

Agora analisemos cada uma das afirmativas:

1°) $alpha = eta= frac{3pi }{4}$ satisfazem a equação.

Temos que o $cos( alpha + eta) = cos(frac{3pi}{4}+frac{3pi}{4}) = cosfrac{3pi}{2} = 0$ .

Afirmativa verdadeira.

2°) A igualdade é verdadeira se $sen (alpha + eta)= 1$

Como vimos o valor de $cos( alpha + eta) = 0$ foi a unica relação a que chegamos. Utilizando a relação fudamental temos que:

$sen^2( alpha +eta) = 1 ightarrow sen( alpha +eta) = pm 1$ , logo se $sen( alpha +eta) = 1$ a igualdade é verdadeira.

Afirmativa verdadeira.

3°) A igualdade é verdadeira somente se $alpha = frac{pi }{3}$ e $eta= frac{pi }{6}$

Afirmativa falsa, a primeira afirmativa já nos apresentou outros valores para o qual a igualdade é verdadeira.

Portanto, temos que a alternativa correta é a LETRA D.

Questão 59

AFA 2023

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