Questão 61

AFA 2023

Matemática

(AFA - 2023)

Considere um tronco de pirâmide obtido de uma pirâmide quadrangular regular. Por esse tronco, passa-se um plano $alpha$ paralelo às bases gerando um quadrilátero de área x cm² , tal que:

a razão entre a distância da base menor do tronco ao plano $alpha$ e a distância do plano $alpha$ à base maior do tronco é igual a $frac{3}{2}$ ;
a área da base maior do tronco mede 441 cm² ; e
a área da base menor do tronco mede 64 cm² .

A área x do quadrilátero, em cm² , é igual a

$frac{8441}{64}$

$frac{12661}{81}$

$frac{6241}{25}$

$frac{4772}{16}$

Gabarito:

$frac{6241}{25}$

Resolução:

O primeiro passo a se realiazar seria descobrir os valores dos lados das faces do tronco gerado.

Podemos realizar isso utilzando o fato de que a área é igual a $l^2$ em um quadrado, disso temos que:

$l_1^2 = 64$ e $l_2^2 = 64$

$l_1 = 8$ e $l_2 = 21$

Com isso geramos o seguinte tronco:

Onde os triangulos $Delta ABD$ e $Delta ACE$ são semelhantes, pois $overline{DB}$ é paralelo a $overline{CE}$ .

Utilizando da simetria do desenho, podemos afimar que:

$overline{DB} = frac{x - 8}{2}$ e $overline{CE} = frac{21 - 8}{2} = frac{13}{2}$

A partir desses valores, da semelhança de triangulos e do fato de que $3cdot overline{CB} = 2cdotoverline{AB}$ fornecido pela questão, temos:

$frac{overline{AB}}{overline{DB}} =frac{overline{AC}}{overline{EC}}$

$frac{overline{AB}}{overline{DB}} =frac{overline{AB}+overline{BC}}{overline{EC}}$

$frac{overline{AB}}{overline{DB}} =frac{ frac{5overline{AB}}{3}}{overline{EC}}$

$frac{2}{x-8} =frac{5cdot2}{3cdot13}$

$5cdot(x-8) = 39$

$5x = 46 ightarrow x = frac{79}{5}$

Agora, para descobrir o valor da área da face da lado $x$ , basta utilizar novamente que área é igual a $l^2$ , com isso temos:

$A = (frac{79}{5})^2$

$A = frac{6241}{25}$

Portnato, a alternativa correta é a LETRA C.

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